Bilangan Segitiga Pascal dan Koefisien Binomial
Pada postingan ini kita akan mempelajari bilangan segitiga pascal. Perhatikan bilangan segitiga pascal berikut:
Berikut ini diberikan rumus dari bentuk $(x+y)^n$.
Rumus koefisien binomial.
$$(x+y)^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} x^{n-k}y^k$$
$$(x+y)^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} x^{n-k}y^k$$
Contoh-1:
Tentukan koefisien $x^3y^2$ dari bentuk $(x+y)^5$.
Jawab:
Diketahui bahwa $n=5$ (pangkat dari $(x+y)$. Dengan menggunakan rumus koefisien binomial, kita lihat pangkat dari $x$ adalah 3. Dari bentuk rumus pada $x$ yakni $x^{n-k}$ maka $$x^3=x^{n-k}$$ $$3=n-k$$ $$3=5-k$$ $$k=2$$ Ternyata $k$ adalah pangkat dari $y$. Jadi, koefien yang kita cari adalah $${n \choose k}={5 \choose 2}$$ $$=C^5_2=10$$
Contoh-2:
$\displaystyle C^6_1+C^6_2+$ ... $\displaystyle C^6_6$ = ....
Jawab:
Dari rumus koefisien binomial kita ambil $x=1$ dan $y=1$ maka diperoleh: $$(1+1)^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} 1^{n-k}1^k$$ 1 pangkat berapapun hasilnya tetap 1. Sehingga diperoleh: $$2^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} $$ Kita tentukan $n=6$ maka diperoleh: $$2^6=\sum \limits^{6}_{k=0} {6 \choose k} $$ $$2^6=C^6_0+...+C^6_6$$ Jadi, $\displaystyle C^6_1+C^6_2+$ ... $\displaystyle C^6_6$ = $2^6-C^6_0$ = $2^6-1$ = 64 $-$1 = 63.
Dengan menggunakan rumus koefisien binomial, kita dengan cepat menentukan hasil deret kombinasi.
Demikianlah postingan tentang bilangan segitiga pascal dan koefisien binomial. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.
Komentar
Posting Komentar