Turunan Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan fungsi dalam bentuk pecahan biasa. Ada pembilang (di atas) dan penyebut (di bawah). Kita ambil bentuk fungsinya $$\frac{u(x)}{g(x)}=\left(\frac{u}{v}\right)(x)$$ Berikut ini rumus dasarnya:

Rumus turunan fungsi rasional. $$(u.v)'(x)=\left(\frac{u'.v-u.v'}{v^2}\right)(x)$$

Baca juga:
- Dasar Turunan Fungsi.
- Turunan Fungsi Perkalian.

Kita masuk ke contoh soal.
Contoh-1:
Diketahui $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+2}$. Tentukan $f'(x)$.
Jawab:
Kita ambil $u(x)=2x$ dan $v(x)=x+2$ maka $u'(x)=2$ dan $v'(x)=1$. Sehingga diperoleh: $$f'(x)=\frac{2.(x+2)-2x.(1)}{(x+2)^2}$$ $$f'(x)=\frac{2x+4-2x}{x^2+4x+4}$$ $$f'(x)=\frac{4}{x^2+4x+4}$$
Contoh-2: $$D_x~\frac{4x+5}{10x-7}=...$$ Jawab:
$$=\frac{4.(10x-7)-(4x+5).10}{(10x-7)^2}$$ $$=\frac{40x-28-40x-50}{(10x-7)^2}$$ $$=\frac{-78}{(10x-7)^2}$$
Contoh-3:
Diketahui fungsi $\displaystyle m(x)=\frac{-x^3+4x}{x-1}$. Tentukan nilai $m'(2)$.
Jawab:
Ambil $u(x)=-x^3+4x$ dan $v(x)=x-1$ maka dengan turunan dasar diperoleh $u'(x)=-3x^2+4$ dan $v'(x)=1$. Karena kita mencari nilai fungsi, maka kita tentukan saja langsung nilai fungsi pecahannya, yakni $u(2)$, $v(2)$, $u'(2)$, dan $v'(2)$ serta $v^2(2)$. Sehingga diperoleh: $$u(2)=-(2)^3+4.(2)=-8+8=0.$$ $$v(2)=2-1=1.$$ $$u'(2)=-3.(2)^2+4=-3.(4)+4=-8.$$ $$v'(2)=1$$ (Jika dia konstanta maka hasilnya tetap) $$v^2(2)=(2-1)^2=1$$ Sehingga diperoleh: $$m'(2)=\frac{u'(2).v(2)-u(2).v'(2)}{v^2(2)}$$ $$m'(2)=\frac{-8.(1)-0.(1)}{1}$$ $$m'(2)=-8$$
Demikianlah postingan materi turunan fungsi rasional. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.