PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Loading...
Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan pembaca perlu terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan riil $x$ dinyatakan oleh $|x|$ yang didefinisikan sebagai:
$|x|=x~~$ jika $x \ge 0$.
$|x|=-x~$ jika $x < 0$.

Misalnya |6|=6; |0|=0; $|-5|=-(-5)=5$, dan sebagainya.

Definisi dua cabang itu patut dikaji secara seksama. Perhatikan bahwa ini tidak mengatakan $|-x|=x$ (cobalah $x=-5$ untuk melihat sebabnya). Adalah benar bahwa $|x|$ selalu tak negatif; adalah benar juga bahwa $|-x|=|x|$.

Penelusuran bersponsor: Info Penyakit.

Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah sebagai jarak (tak berarah). Khususnya, $|x|$ adalah jarak antara $x$ dengan titik asal. Sebagai contoh $|x-a|$ adalah jarak antara $x$ dengan $a$.

Sifat-sifat Nilai Mutlak $~~$ Nilai mutlak berprilaku manis dalam perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu baik dalam penambahan dan pengurangan.
Sifat-sifat nilai mutlak:
1. $|a.b|=|a|.|b|$
2. $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$
3. $|a+b| \le |a| +|b|$
4. $|a-b| \ge ||a|-|b||$



Ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak
Jika $|x| < 3$, maka $x$ harus secara sekaligus lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari $-3$, yakni $-3 < x < 3$. Berlainan jika $|x|>3$ maka $x < -3$ atau $x>3$. Ini merupakan kasus-kasus khusus dari pernyataan-pernyataan umum berikut:
$|x| < a~$ $\iff~$ $-a < x < a$
$|x|>a~$ $\iff~$ $x < -a$ atau $x>a$.


Kita dapat menggunakan fakta ini untuk menyelesaikan ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangkan tanda nilai mutlak.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan $|x-4| < 1,5$
Penyelesaian:
Dari sifat yang ada, kita hanya mengikuti bentuk sifat itu, sehingga:
$-1,5 < x-4 < 1,5$
lalu semua kita tambah 4 menjadi: $2,5 < x < 5,5$.

Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari $|3x-5| \ge 1$.
Penyelesaian:
Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai:
$3x-5 \le -1$ atau $3x-5 \ge 1$
$3x \le 4$ atau $3x \ge 6$
$$x \le \frac{4}{3}~\text{atau}~x \ge 2$$


Sifat Pengkuadratan $~~$ Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya dua akar kuadrat dari 9 adalah $-3$ dan 3; dua akar dari 100 adalah $-10$ dan 10. Untuk $a \ge 0$, lambang $\sqrt{a}$, disebut akar kuadrat utama dari $a$ yang menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari $a$. Jadi $\sqrt{9}=3$ dan $\sqrt{(-10)^2}=\sqrt{100}=10$. Dua akar kuadrat dari 7 adalah $\pm \sqrt{7}$. Berikut sebuah kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat:
$$|x|^2=x^2$$


Contoh 3:
Selesaikan persamaan $|x-3|=4$
Penyelesaian:
Dari sifat yang ada maka nilai $x$ yang memenuhi ada 2. Dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh:
$$(x-3)^2=4^2$$ ingatlah sifat dasar bahwa $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Sehingga $$(x-3)^2-4^2=0$$ $$(x-3+4)(x-3-4)=0$$ $$(x+1)(x-7)=0$$ Jadi $x=-1$ dan $x=7$.

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari $|-2x+1|=|5x-6|$.
Penyelesaian:
Setelah kita mengetahui tekniknya, yakni dengan mengkuadratkan kedua ruas kemudian menggunakan sifat pengurangan kuadrat, maka kita peroleh: $[(-2x+1)-(5x-6)]$. $[(-2x+1)+(5x-6)]=0$
$(-7x+7)(3x-5)=0$
Jadi $x=1$ dan $x=5/3$


Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari $|-x+2|>|4x+5|$.
Penyelesaian:
Dengan mengkuadratkan kedua ruas dan gunakan sifat selisih kuadrat maka diperoleh: $$(-x+2)^2-(4x+5)^2>0$$ $$(3x+7)(-5x-3)>0$$ gunakan sifat yang sama dengan $|x|>a$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: $$x < -\frac{7}{3}$$ atau $$x>-\frac{3}{5}$$


Demikianlah tutorial singkat ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat. Salam berbagi dan belajar mandiri.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *