Loading...
Pembaca diharuskan sudah menguasai materi prasyarat tentang turunan fungsi, jika belum mengetahuinya maka bisa membacanya di link berikut ini: Turunan Fungsi dan sifat-sifatnya.
Kemudian kita akan mencari panjang kurva mulus $f(x)$ yang dibatasi oleh interval $a \le x \le b$. Terlebih dahulu kita harus mengetahui definisi dari kurva mulus. Berikut ini diberikan definisi kurva mulus:

Kurva Mulus

Definisi Kurva Mulus:
Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva itu ditentukan oleh persamaan-persamaan $x=f(t)$, $~y=g(t)$, $~a \le t \le b$, dengan ketentuan bahwa turunan-turunan $f’$ dan $g’$ adalah kontinu pada $[a,~b]$ sedangkan $f'(t)$ dan $g'(t)$ tidak bersama-sama nol di selang $(a,~b)$.

Kita gunakan istilah mulus untuk menggambarkan sifat sebagai berikut: Apabila sebuah partikel bergerak sepanjang kurva tersebut maka partikel itu tidak akan berbalik arah dan kurva tidak terputus sehingga partikel bergerak sempurna dari titik awal ke titik akhir.
Perhatikan contoh berikut ini:

Contoh 1:
Buktikan bahwa kurva $f(x)=2x$, $~-3 \le x \le 7$ merupakan kurva mulus!
Penyelesaian:
Persamaan $f(x)=2x$ sama artinya dengan $y=2x$, kita ambil $x=t$ maka $y=2t$ dengan $~-3 \le t \le 7$. Kita peroleh $x'(t)=1$ dan $y'(t)=2$ untuk membuktikan $x'(t)$ dan $y'(t)$ itu kontinu pada $[-3,~7]$ maka kita harus melihat nilai limitnya harus selalu ada. Jelas bahwa nilai limit $x'(t)$ dan $y'(t)$ selalu ada pada $[-3,~7]$, serta $x'(t)$ dan $y'(t)$ tidak memiliki nilai nol secara bersamaan pada $(-3,~7)$. Jadi terbukti bahwa kurva itu mulus.

Panjang Kurva Mulus

Selanjutnya akan diberikan rumus integral untuk mencari panjang kurva mulus $P$, sebagai berikut:

Rumus parametrik: $$P=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}~dt$$ dengan $x=j(t)$, $~y=k(t)$, dan $a \le t \le b$.

Rumus analitik pada selang $x$: $$P=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}~dx$$ dengan $y=f(x)$ dan $a \le x \le b$.

Rumus analitik pada selang $y$: $$P=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}~dy$$ dengan $x=g(y)$ dan $c \le y \le d$.

Contoh 2:
Dengan menggunakan rumus panjang kurva parametrik, tentukan keliling lingkaran $x^2+y^2=r^2$.
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dapat kita tuliskan dalam bentuk parameter sebagai berikut:
$x=r.\text{cos} t$, $~y=r.\text{sin} t$, $~0 \le t \le 2\pi$ dimana $t$ merupakan sudut putar lingkaran dari 0 sampai $2\pi$ radian. Sehingga kita peroleh: $$\frac{dx}{dt}=-r.\text{sin}t$$ dan $$\frac{dy}{dt}=r.\text{cos}t$$ Jadi: $$P=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2.\text{sin}^2t+r^2.\text{cos}^2t}~dt$$ $$P=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2.(\text{sin}^2t+\text{cos}^2t)}~dt$$ $$P=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2}~dt$$ $$P=\int_{0}^{2\pi} r~dt$$ $$P=r.t \bigr|_{0}^{2\pi}$$ $$P=r.(2\pi)-r.(0)$$ $$P=2\pi r$$ Jadi keliling lingkaran itu adalah $2\pi r$


Contoh 3:
Dengan menggunakan rumus panjang kurva fungsi analitik pada $x$, hitunglah panjang ruas garis antara titik (0, 1) dan (5, 13) !
Penyelesaian:
Terlebih dulu kita cari persamaan garisnya, yakni: $$\frac{y-1}{13-1}=\frac{x-0}{5-0}$$ $$y=\frac{12}{5}x+1$$ Sehingga kita peroleh: $$\frac{dy}{dx}=\frac{12}{5}$$ Jadi: $$P=\int_{0}^{5} \sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}~dx$$ $$P=\int_{0}^{5} \frac{13}{5}~dx$$ $$P={\frac{13}{5} x} \bigr|_{0}^{5}$$ $$P=\frac{13}{5}(5)-\frac{13}{5}(0)$$ $$P=13$$ Jadi panjang ruas garisnya adalah 13 satuan panjang.

Contoh 4:
Dengan menggunakan rumus panjang kurva fungsi analitik pada $y$, hitunglah panjang ruas garis antara titik (0, 1) dan (5, 13) !
Penyelesaian:
Pada contoh 3 sudah diperoleh persamaan garisnya yakni $$y=\frac{12}{5}x+1$$ sehingga $$x=\frac{5}{12}y-\frac{5}{12}$$ maka kita peroleh: $$x'(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{5}{12}$$ Jadi: $$P=\int_{1}^{13} \sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^2}~dy$$ $$P=\int_{1}^{13} \frac{13}{12}~dy$$ $$P=\frac{13}{12}y \bigr|_{1}^{13}$$ $$P=\frac{13}{12}(13)-\frac{13}{12}(1)$$ $$P=\frac{169}{12}-\frac{13}{12}$$ $$P=13$$ Jelas bahwa hasil ini sama dengan contoh 3.


Demikianlah penjelasan tentang mencari panjang kurva dengan menggunakan integral, sampai jumpa pada postingan lainnya dan semoga bermanfaat.