Loading...
Bangun Ruang (Materi dan Contoh Soal)

Selamat datang pengunjung mathematic.my.id, apa kabar semuanya dan semoga selalu baik-baik saja.
Pada perjumpaan kita ini akan saya bahas mengenai bangun ruang (materi dan contoh soalnya). Ini dia penjelasan dan soal pembahasannya:



A. PRISMA

1. BALOK


* Panjang total rusuk = $4.(p+l+t)$.
* Panjang diagonal ruang = $\sqrt{p^2+l^2+t^2}$.
* Luas Permukaan Balok = $2.(pl+pt+lt)$.
* Volume Balok = $p.l.t$.

2. KUBUS


* Panjang total rusuk = $12.a$
* Diagonal sisi = $a\sqrt{2}$
* Diagonal ruang = $a \sqrt{3}$
* Luas Permukaan = $6.a^2$
* Volume = $a^3$.

3. TABUNG (SILINDER)


* Luas alas atau tutup tabung = $\pi.r^2$
* Luas selimut tabung = $2\pi.r.t$
* Luas Permukaan Tabung = $2 \pi r.(r+t)$
* Volume Tabung = $\pi.r^2.t$

B. LIMAS

1. LIMAS SEGI-4 BERATURAN


* Rusuk alasnya sama panjang:
AB = BC = CD = AD = $a$ cm.
* Rusuk tegaknya sama panjang:
TA = TB = TC = TD = $p$ cm.
* Panjang rusuk tegak = $\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{4t^2+2a^2}$
* Luas Permukaan = $a^2+a\sqrt{4p^2-a^2}$
* Volume = $\displaystyle \frac{1}{3}.a^2.t$

2. KERUCUT


* $s=\sqrt{r^2+t^2}$
* Luas selimut = $\pi.r.s$
* Luas Permukaan = $\pi.r^2+\pi.r.s$
* Volume = $\displaystyle \frac{1}{3} \pi.r^2.t$

C. BOLA


* Luas Permukaan = $4.\pi.r^2$
* Volume = $\displaystyle \frac{4}{3}.\pi.r^3$


Soal dan Pembahasan:

1. Suatu kubus yang memiliki panjang rusuk 24 cm tersusun dari kubus-kubus kecil yang panjang rusuknya 6 cm. Berapa banyak kubus kecil yang menyusun kubus besar itu?.

A. 16 $\quad ~$ D. 96
B. 36 $\quad ~$ E. 98
C. 64
Penyelesaian:
Jawaban C. $$=\left(\frac{24}{6}\right)^3=64$$

2. Pada sebuah balok diketahui luas tutup balok tersebut adalah 432 cm$^2$, sisi depan balok mempunyai luas 336 cm$^2$, dan sisi samping mempunyai luas 252 cm$^2$. Lebar balok tersebut adalah …. cm.

A. 12 $\quad ~$ D. 24
B. 14 $\quad ~$ E. 25
C. 18
Penyelesaian:
Jawaban C.
Misalkan $pl=432$, $pt=336$, dan $lt=252$. Maka: $$\frac{l}{t}=\frac{432}{336}=\frac{9}{7}$$ atau $$t=\frac{7}{9}l$$ Substitusi ke $lt$ diperoleh: $$\frac{7}{9}l^2=252$$ Jadi: $l=18$.

3. Dua tabung A dan B masing-masing mempunyai diameter $2x$ dan $5x$. Awalnya tabung B kosong dan tabung A berisi air dengan kedalaman 20 cm. Jika air di tabung A dituang ke tabung B maka tinggi air di tabung B adalah …. cm.

A. 3,2 $\quad ~$ D. 4,5
B. 3,5 $\quad ~$ E. 5
C. 4
Penyelesaian:
Jawaban A.
Jelas bahwa ketinggiannya akan menurun jika dipindahkan ke tabung B dan volume air tetap sama. Misalkan $t_A=t_B=20$ cm, artinya ketika tabung A penuh air maka jika dituang ke tabung B airnya tidak penuh karena diameter tabung B lebih besar. Dan misalkan $x=2$ maka $r_A=2$ dan $r_B=5$ serta tinggi air dalam tabung B$=(20-k)$ cm. Maka:

$\displaystyle V_{air}=\pi.2^2.(20)=80\pi=\pi.5^2.(20-k)$
$80=25.(20-k)$
$20-k=3,2$.

Jadi tinggi air dalam tabung B adalah 3,2 cm, dengan konstanta $k=16,8$.

4. Diketahui volume sebuah balok adalah 192 cm$^3$, dengan perbandingan panjang, tinggi, dan lebar balok adalah $3:4:2$. Panjang seluruh rusuk balok tersebut adalah …. cm.

A. 18 $\quad ~$ D. 36
B. 60 $\quad ~$ E. 24
C. 72
Penyelesaian:
Jawaban C. $$p:t:l=3k:4k:2k$$ Maka: $$V=(3k)(4k)(2k)=192$$ $$k^3=\frac{192}{24}=8$$ $$k=2$$ Jadi: Panjang seluruh rusuk balok adalah 4.(6+8+4) = 72 cm.

5. Sebuah akuarium berbentuk kotak berukuran panjang 65 cm, lebar 20 cm, dan tinggi 40 cm. Jika diisi air sampai mencapai jarak 3 cm dari atas, maka volume air tersebut adalah …. liter.

A. 48,1 $\quad ~$ D. 32,3
B. 4,81 $\quad ~$ E. 30
C. 38,5
Penyelesaian:
Jawaban A.
tinggi air = 40$-$3 = 37 cm. Volume air = 65.(20).(37) = 48100 cm$^3$ = 48,1 liter.

6. Hasyim ingin membuat akuarium yang berbentuk kubus dari kaca yang telah dibeli tetapi jadi digunakan oleh ayahnya, luas permukaan akuarium itu adalah 486 cm$^2$. Panjang akuarium yang harus dibuat oleh Hasyim adalah …. cm.

A. 6 $\quad ~$ D. 9
B. 7 $\quad ~$ E. 10
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban D. $$L_p=6.s^2$$ $$486=6.s^2$$ $$s^2=\frac{486}{6}=81$$ $$s=\sqrt{81}=9$$

7. Kubus dengan panjang rusuk $x$ cm diperkecil sehingga panjang rusuknya menjadi seperempat panjang rusuk semula. Jika setelah diperkecil panjang diagonal ruangnya menjadi $y\sqrt{3}$ cm, maka panjang $x=….$ cm.

A. $y\sqrt{3}$ $\quad ~$ D. $4y\sqrt{3}$
B. $3y$ $\quad ~$ E. $5y$
C. $4y$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Diperkecil menjadi $\displaystyle \frac{1}{4}x$ maka diagonal ruangnya = $\displaystyle \frac{1}{4}x\sqrt{3}$. Jadi: $$\frac{1}{4}x\sqrt{3}=y\sqrt{3}$$ $$x=4y$$

8. Jika $x$ cm, 12 cm, 15 cm adalah sisi-sisi segitiga siku-siku dan $y$ adalah rusuk sebuah kubus yang mempunyai luas permukaan 726 cm$^2$ maka ….

A. $x>y$
B. $x < y$
C. $x=y$
D. $x \ge y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban E.
Nilai $\displaystyle y=\sqrt{\frac{726}{6}}=11$. Karena $x$ tidak pasti letaknya apakah di sisi siku atau sisi miring. Jika $x$ sisi siku maka $x=9$ atau $x < y$. Jika $x$ berada di sisi miring maka $x=19,2$ atau $x>y$. Karena ada dua kemungkinan jadi hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.

9. Dua buah kubus panjang rusuknya berselisih 4 cm dan luas permukaannya berselisih 240 cm$^2$. Panjang rusuk kubus yang lebih besar adalah …. cm.

A. 6 $\quad ~$ D. 9
B. 7 $\quad ~$ E. 10
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban B. $$s_2-s_1=4$$ $$6s_2^2-6s_1^2=240$$ $$6.(s_2^2-s_1^2)=240$$ $$6.(s_2-s_1)(s_2+s_1)=240$$ $$s_2+s_1=\frac{240}{6(4)}=10$$ $$2.s_2=14$$ $$s_2=7$$

10. Seorang anak bernama Intan memasukkan kardus berisi radio yang berukuran 5 cm x 6 cm x 7 cm ke dalam kotak besar berukuran 42 cm x 25 cm x 60 cm. Berapa jumlah kardus radio yang dapat dimasukkan ke dalam kotak besar tersebut?

A. 300 $\quad ~$ D. 420
B. 400 $\quad ~$ E. 325
C. 480
Penyelesaian:
Jawaban A. $$\frac{42(25)(60)}{5(6)(7)}=6(5)(10)$$ $$=300$$

11. Adik akan memasukkan kotak sereal yang berukuran 6 cm x 5 cm x 7 cm ke dalam kardus besar berukuran 28 cm x 24 cm x 60 cm. Berapa jumlah kotak sereal yang dapat dimasukkan ke dalam kardus besar tersebut?

A. 128 $\quad ~$ D. 210
B. 144 $\quad ~$ E. 216
C. 192
Penyelesaian:
Jawaban C. $$\frac{28.(24).(60)}{6(5)(7)}=4(4)(12)$$ $$=192$$

12. Sebuah balok kayu berukuran (90 x 30 x 120) cm dipotong-potong menjadi kubus dengan ukuran terbesar yang dapat dibuat. Banyak kubus yang dapat dibuat adalah ….
A. 10 $\quad ~$ D. 21
B. 12 $\quad ~$ E. 22
C. 20
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jelas bahwa sisi terpanjang kubus adalah sisi terpendek balok. Jadi banyak kubus itu adalah: $$\frac{90 \text{ x }30\text{ x }120}{30 \text{ x }30\text{ x }30}$$ $$=3(1)(4)=12$$

13. Sebuah kubus memiliki volume 216 cm$^3$. Berapa banyak kubus dengan rusuk 2 cm yang diperlukan untuk mengisi penuh kubus bervolume 216 cm$^3$ itu?

A. 25 $\quad ~$ D. 28
B. 26 $\quad ~$ E. 29
C. 27
Penyelesaian:
Jawaban C.
Volume 1 kubus berusuk 2 cm adalah 8 cm$^3$. Jadi banyak kubus kecil ini untuk mengisi kubus besar itu adalah $216:8=27$.

14. Kurdi memindahkan susu dari wadah berbentuk tabung dengan diameter 200 cm dan tinggi 50 cm ke dalam kaleng yang berbentuk kubus dengan panjang rusuk 30 cm. Jika kurdi ingin menyisakan susu di wadah tabung sebanyak 2/5-nya, maka berapa maksimal kaleng berbentuk kubus itu yang dibutuhkan kurdi?

A. 24 $\quad ~$ D. 72
B. 35 $\quad ~$ E. 140
C. 58
Penyelesaian:
Jawaban B.
Susu yang dipindahkan sebanyak: $$\frac{3}{5}.(3,14).(100)^2(50)$$ $$=942000 \text{ cm}^3$$ Volume 1 kaleng kubus = $30^3=27000$.
Jadi, banyak kaleng kubus yang diperlukan adalah: $$\frac{942000}{27000}=34,8 \approx 35$$

15. Sebuah kubus A dari logam memiliki berat 200 gr. Berapa jumlah kubus A yang diperlukan agar menghasilkan kubus B yang panjang sisinya dua kali lebih panjang? (kubus A dan B terbuat dari bahan yang sama).

A. 4 $\quad ~$ D. 27
B. 8 $\quad ~$ E. 36
C. 16
Penyelesaian:
Jawaban B.
Karena panjang sisinya 2 kali lebih panjang maka jelas bahwa banyak kubus A ada $2^3=8$.
RajaBackLink.com

16. Sebuah tempat penampungan air berbentuk silinder, memiliki tinggi 200 cm dan diameter alas 100 cm. Banyak air yang bisa ditampung ke dalam wadah itu adalah …. liter.
A. 1500 $\quad ~$ D. 1600
B. 1550 $\quad ~$ E. 1650
C. 1570
Penyelesaian:
Jawaban C.
karena liter = dm$^3$ maka kita ubah satuan cm ke dm, yakni diperoleh:
$r=$5 dm dan $t=$20 dm. Kita gunakan nilai $\pi=$3,14, maka: $$V=3,14.(25)(20)$$ $$V=1570$$

17. Sebuah silinder memiliki radius 2 m dan tinggi 5 m. Jika silinder tersebut telah terisi air 40% bagian, maka berapa meter kubik lagikah silinder tersebut harus diisi dengan air agar menjadi penuh?

A. $6\pi$ $\quad ~$ D. $12\pi$
B. $8\pi$ $\quad ~$ E. $15\pi$
C. $10\pi$
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$V=\pi.2^2.(5)=20\pi$$ Agar penuh maka 60% lagi sehingga: $$V_{\text{60%}}=\frac{6}{10}.20\pi=12\pi$$

18. Sebuah kerucut terbalik mempunyai tinggi 4 cm. Kerucut tersebut berisi air hanya seperdelapan bagian saja dari isi penuhnya. Kedalaman air pada kerucut tersebut adalah …. cm.

Perhatikan gambar berikut:

A. 0,5 $\quad ~$ D. 2
B. 1 $\quad ~$ E. 2,5
C. 1,5
Penyelesaian:
Jawaban D.
Kita simbolkan volume kerucut kecil adalah $V_k$ dan volume kerucut besar adalah $V_b$. Jelas bahwa: $$V_k=\frac{1}{8}.V_b$$ $$r_k^2.t_k=\frac{1}{8}.r_b^2.t_b$$ $$\left(\frac{r_k}{r_b}\right)^2=\frac{1}{2.t_k}$$ Perhatikan segitiga sebangun yang terbentuk yang berakibat: $$\frac{r_k}{r_b}=\frac{t_k}{4}$$ Jadi: $$\frac{t_k^2}{16}=\frac{1}{2.t_k}$$ $$t_k^3=8$$ $$t_k=2$$

19. Sebuah kubus diletakkan di dalam sebuah bola sedemikian hingga setiap titik sudut kubus menyentuh permukaan dalam bola. Jika panjang rusuk kubus $x$, maka berapakah luas permukaan bola itu?

A. $\displaystyle \frac{3}{2}\pi.x^2$
B. $3\pi.x^2$
C. $4\pi.x^2$
D. $6\pi.x^2$
E. $12\pi.x^2$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jelas bahwa diagonal bidang kubus itu sama dengan diameter bola. Jadi luas permukaan bola adalah $$\pi.d^2$$ $$=\pi.(x\sqrt{3})^2$$ $$=3\pi.x^2$$