Loading...
Cara Mendapatkan Bilangan e

Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id sekalian semoga semua masih dalam kondisi sehat,,
Pada pertemuan kita ini akan saya bahas mengenai cara memperoleh konstanta $e$. Konstanta $e$ disebut juga sebagai konstanta natural. Konstanta $e$ ini banyak digunakan dalam bidang sains dan teknologi. Seperti dalam hal perhitungan massa radio aktif, perhitungan jumlah penduduk per kapita dan sebagainya ini selalu berkaitan dengan konstanta $e$. Mengapa ini bisa terjadi dan darimana datangnya konstanta $e$?. Untuk itu jika anda membaca postingan ini sangat tepat, karena saya akan membahasnya.



Konstanta $e$ merupakan basis dari logaritma natural, ya jika anda pernah melihat kalkulator saintifik ada tertulis ln. Dalam bidang kalkulus disebut bahwa konstanta $e$ ini adalah konstanta transendental. Bilangan $e$ ini merupakan bilangan irrasional karena desimalnya tak terbatas. Penemu dari bilangan $e$ ini adalah Euler, seorang ilmuan matematika. Konstanta atau bilangan $e$ ini diperoleh dari rumus sebagai berikut:


$$e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$$

Jika anda menggunakan kalkulator saintifik dan Ms.Excel untuk menghitung hasil dari rumus di atas, maka substitusikanlah $x=0,000001$ (semakin kecil nilai $x$ maka akan semakin teliti hasilnya), tetapi anda tidak boleh mengambil nilai $x=0$ karena ini akan menghasilkan bentuk tak tentu $1^{\infty}$ (ingatlah pelajaran tentang limit).
Selain rumus di atas, ada juga rumus lain untuk mendapatkan nilai $e$, rumus lain ini adalah sebagai berikut:


$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

Mudah untuk mencari hasil di atas, anda bisa menggunakan kalkulator saintifik android, program seperti Pascal, C++, Java, dan sebagainya.
Hasil dari rumus pertama menggunakan limit dan rumus kedua menggunakan deret konvergen ini saya perlihatkan hasil pendekatan nilai $e$ melalui kalkulator saintifik android seperti berikut:

Gambar hasil pendekatan nilai $e$ dari rumus limit.


Gambar hasil pendekatan nilai $e$ dari rumus deret.

Dalam materi bilangan kompleks, konstanta $e$ juga terlibat. Rumus yang ditemukan ini adalah sebagai berikut:

$$e^{i.\alpha}=\text{cos }\alpha+i.\text{sin }\alpha$$ dapat disingkat dengan penulisan: $$e^{i.\alpha}=\text{cis }\alpha$$

Rumus ini sangat terkenal dalam bidang analisis kompleks. Dari rumus di atas jika kita pangkatkan $n$ pada kedua ruas maka diperoleh: $$e^{n.\alpha .i}=\text{cis }n.\alpha$$ Konstanta $e$ ini memang banyak digunakan dalam analisis real maupun analisis komplek dan juga dalam bidang rekayasa.
Dalam logaritma, kita dapat menuliskan $^e\text{log }x=\text{ln }x$. Dalam kalkulus diferensial dan kalkulus integral bentuk fungsi $y=e^x$ apabila didiferensialkan atau diturunkan maka hasilnya akan tetap seperti semula, penulisannya dapat ditulis sebagai $$D~e^x=e^x$$. Begitu juga jika kita integralkan maka fungsi $y=e^x$ ini juga akan tetap, dapat kita tuliskan dengan $$\int~e^x~dx=e^x+C$$ Karena integral adalah anti turunan dan turunan berasal dari rumus limit $$D~f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Sebingga: $$D~e^x=\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}$$ $$=e^x.\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}$$ Hasil dari $$\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}$$ harus dicari dengan kalkulator yang menghasilkan 1. Jadi jelas bahwa $D~e^x=e^x$.

Demikianlah pembahasan tentang bilangan $e$. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.