Loading...
Kembali kita ke pembahasan fungsi eksponen asli. Perhatikan definisi fungsi eksponen asli berikut:
Definisi:
Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp, yaitu:
$x=$ exp $y$ $\iff$ $y=$ ln $x$
Dari definisi di atas kita peroleh:
(i) exp(ln $x$) $= x$, untuk $x >0$.
(ii) ln(exp $y$) $=y$, untuk semua $y$.
Perhatikan gambar berikut:
Sifat Fungsi Eksponen $\quad$ Kita mulai dengan memperkenalkan bilangan baru, seperti bilangan $\pi$, tetapi ini bilangan yang dilambangkan dengan huruf $e$. Bilangan $e$ ini amat penting di dalam matematika. Bilangan $e$ ini pertama kali digunakan oleh ahli matematika Leonhard Euler.
Definisi:
Bilangan $e$ adalah bilangan riil positif yang bersifat ln $e=1$.
Sekarang kita melakukan pengamatan penting yang hanya bergantung pada fakta-fakta yang telah diperlihatkan. Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada awal bagian ini dapat ditulis dalam bentuk:
(i) $e^{ln(x)}=x$, untuk $x>0$.
(ii) ln($e^y$)$=y$, untuk semua $y$.
Kemudian berlaku rumusan berikut:
Andaikan $a$ dan $b$ bilangan rasional, maka $e^ae^b=e^{a+b}$ dan $e^a/e^b=e^{a-b}$
Turunan $e^x$ $\quad$ Karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka fungsi exp $x=e^x$ dapat diturunkan. Untuk menemukan sebuah rumus $D_x(e^x)$ kita dapat menggunakan rumus berikut:
$D_x(e^x)=e^x$
Bukti: definisikan $e^x=y$ maka $x=$ ln $y$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$ yang bersimbol $dy/dx$ dengan menggunakan teknik Turunan Implisit. Jika belum mengetahui teknik turunan implisit, kamu bisa membacanya melalui link berikut: Teknik Turunan Implisit.Sehingga diperoleh:
$1=\frac{1}{y}D_x(y)$
$D_x(y)=D_x(e^x)=y=e^x$ (terbukti)
Apabila $u=f(x)$, maka menurut aturan rantai diperoleh:
$D_x(e^u)=e^u.D_x(u)$
Rumus diatas dapat menghasilkan rumus: atau
Contoh 1:
Tentukan $D_xe^{\sqrt{x}}$.
Penyelesaian:
Ambil $u=\sqrt{x}$, maka:
$D_xe^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}.D_x \sqrt{x}$
$=$
$=$
Contoh 2: Tentukan
Jawab:
ambil $u=-4x$ sehingga $du=-4dx$, maka diperoleh: