Loading...

Enam fungsi dasar trigonometri (yaitu sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan) sudah kita pelajari, jika belum mengetahui tentang enam fungsi dasar trigonometri ini maka bisa dibaca di link ini: Trigonometri Dasar.
Mengenai fungsi inversnya, akan kita pelajari dibagian ini.

Fungsi Invers Sinus dan Cosinus $\quad$ Dalam kasus sinus dan cosinus, kita batasi daerah asalnya sedangkan daerah hasilnya kita ambil seluas mungkin asalkan fungsi itu memiliki invers. Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan cosinus sebagai berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers dari sinus dan cosinus, kita batasi daerah asal fungsi sinus pada selang $x=[-\pi /2, \pi /2]$, dan fungsi cosinus pada selang $x=[0, \pi]$, sehingga:
$x=$ sin $^{-1} y \iff y=$ sin $x$
$x=$ cos $^{-1} y \iff y=$ cos $x$

Lambang sin$^{-1}$ dapat ditulis dengan arcsin dan cos$^{-1}$ dapat ditulis dengan arccos. Perlu diingat bahwa:

invers dari trigonometri itu menghasilkan nilai sudut baik dalam satuan derajat maupun satuan radian.


Contoh 1:
Hitunglah:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)$
(b) sin$^{-1}(-1/2)$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)$
(d) cos$^{-1}(-1/2)$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$)
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$).
Penyelesaian:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi /4$
(b) sin$^{-1}(-1/2)=-\pi /6$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)=\pi /6$
(d) cos$^{-1}(-1/2)=2\pi/3$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$) = 0,6
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$) $=-\pi/2$
Kita harus berhati-hati, khususnya pada soal (f). Salahlah kita kalau jawabannya $3\pi/2$ sebab arcsin$^{-1}y$ ada dalam selang $[-\pi/2,\pi/2]$. Untuk menyelesaikan soal (f) ini kita tulis
sin$^{-1}$(sin $3\pi/2$) = sin$^{-1}(-1)=-\pi/2$

Contoh 2:
Hitunglah:
(a) cos$^{-1}(-0,61)$
(b) sin$^{-1}(-0,87)$
(c) sin$^{-1}(1,21)$
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13)
Penyelesaian:
Gunakan kalkulator dan gunakan pula satuan radian. Kalkulator sendiri telah disesuaikan sedemikian rupa sehingga jawabannya cocok dengan definisi yang telah kita berikan.
(a) cos$^{-1}(-0,61)$ = 2,2268569
(b) sin$^{-1}(-0,87)$ = $-$1,0552023
(c) Kalkulator memberikan suatu tanda sesuatu yang salah, sebab nilai sin$^{-1}(1,21)$ tidak ada.
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13) = $-$0,9884073

Fungsi Invers tangen dan cotangen $\quad$ Kita juga membatasi nilai $x$ untuk invers tangen. Perhatikan definisi berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(-\pi/2, \pi/2)$. Sedangkan untuk fungsi cotangen kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(0, \pi)$. Sehingga:
$x=$ tan$^{-1}y \iff y=$ tan$x$
$x=$ cot$^{-1}y \iff y=$ cot$x$

Contoh 3:
Hitunglah:
(a) tan$^{-1}(1)$
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}$
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$)
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})$
Penyelesaian:
(a) tan$^{-1}(1)=45$ derajat
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}=30$ derajat
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$) = tan$^{-1}(1)=\pi/4$ radian
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})=$cot $(\pi/3)=1/\sqrt{3}$

Fungsi Invers secan dan cosecan $\quad$ Perhatikan definisi berikut:

Untuk memperoleh fungsi invers secan batasan $x=[0, \pi]$ dan $x \ne \pi/2$. Sedangkan untuk fungsi cosecan batasan $x=[\pi/2, 3\pi/2]$ dan $x \ne \pi$. Sehingga:
$x=$ sec$^{-1}y \iff y=$ sec$x$
$x=$ csc$^{-1}y \iff y=$ csc$x$

Karena sec$x=1/$(cos$x$) maka sec$^{-1}y=$ cos$^{-1}(1/y)$. Dengan cara yang sama maka diperoleh csc$^{-1}y=$ sin$^{-1}(1/y)$.

Contoh 4:
Hitunglah:
(a) sec$^{-1}(-1)$
(b) sec$^{-1}(2)$
(c) csc$^{-1}(2)$
Penyelesaian:
(a) sec$^{-1}(-1)=$ cos$^{-1}(-1)=\pi$
(b) sec$^{-1}(2)=$ cos$^{-1}(1/2)=\pi/2$
(c) csc$^{-1}(2)=$ sin$^{-1}(1/2)=\pi/6$

Empat Pemakaian Kesamaan $\quad$ Beberapa kesamaan yang berguna pada bagian ini adalah:

(1) sin (cos$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(2) cos (sin$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(3) sec (tan$^{-1}x$) $=\sqrt{1+x^2}$
(4) tan (sec$^{-1}x$) $=\sqrt{x^2-1}$

Kita dengan mudah dapat membuktikan empat kesamaan di atas. Sebagai contoh kesamaan pertama,
$cos (sin^{-1}x)=\sqrt{1-(sin (sin^{-1}x))^2}$
$=\sqrt{1-x^2}$

Contoh 5:
Hitunglah sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
Penyelesaian:
Ingat hubungan sudut ganda sin$2\alpha=2.$sin$\alpha$.cos$\alpha$. Dengan substitusi $\alpha=$ cos$^{-1}(2/3)$, maka diperoleh:
sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.$ sin[cos$^{-1}(2/3)$]. cos[cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.(\sqrt{1-4/9}).(2/3)=4\sqrt{5}/9$

Contoh 6:
Buktikan bahwa
cos(2 tan$^{-1}x$) $=(1-x^2)/(1+x^2)$
Penyelesaian:
Kita gunakan hubungan sudut ganda cos$2\alpha=$ 2.cos$^2\alpha -1$. Dengan substitusi $\alpha=$ tan$^{-1}x$, maka:
cos(2 tan$^{-1}x$) $=$ cos $2\alpha$
$\quad=$ 2.cos$^2\alpha -1$
$\quad= 2/($sec$^2\alpha)$
$\quad= 2/(1+$ tan$^2\alpha)$
$\quad= [2/(1+x^2)]-1$
$\quad= (1-x^2)/(1+x^2)$

Demikianlah postingan kali ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.