Garis Berat Segitiga (Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal)

Loading...
Garis Berat Segitiga
Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada postingan ini akan disajikan tentang garis berat segitiga.

Pengertian Garis Berat dan Titik Berat Segitiga

Sebelumnya apakah para pembaca sudah mengetahui apa itu garis berat dan titik berat segitiga?. Garis berat segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga sehingga memotong sama panjang sisi dihadapan titik sudut tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Kemudian jika ketiga garis bagi yang terbentuk akan berpotongan dan menghasilkan titik yang disebut titik berat segitiga. Perhatikan gambar berikut:

Gambar di atas memperlihatkan model segitiga terbuat dari tripleks yang diletakkan di atas ujung jari. Model segitiga tersebut berada dalam keadaan seimbang jika ujung jari tepat berada di titik beratnya.

Rumus Panjang Garis Berat Segitiga

Akan diberikan rumus panjang garis berat sebagai berikut:
$$P_c=\sqrt{\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{4}c^2}$$ $$P_b=\sqrt{\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{4}b^2}$$ $$P_a=\sqrt{\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{4}a^2}$$ dengan $P_a$, $P_b$, dan $P_c$ masing-masing adalah panjang garis berat segitiga yang melalui titik sudut A, B, dan C.

Apakah para pembaca ingin mengetahui bagaimana cara mendapatkan rumus garis berat segitiga seperti di atas?. Berikut ini pembuktian rumus garis berat segitiga:
Perhatikan gambar berikut:

Diketahui $\Delta ABC$ dengan $BC=a$, $~AC=b$, dan $AB=c$.
Garis berat $\Delta ABC$ yang melalui titik $C$ adalah $CD$ dengan panjang $P_c$. Oleh karena $CD$ merupakan garis berat $\Delta ABC$ maka $\displaystyle AD=DB=\frac{1}{2}c$. Untuk menentukan panjang garis berat $P_c$ maka buatlah garis tinggi $CE$ dengan panjang $t_c$.
Misalkan $ED=y$ maka $AE=\frac{1}{2}c-y$. Oleh karena $\Delta AEC$ siku-siku di $E$ maka $\displaystyle {t_c}^2=b^2-\left(\frac{1}{2}c-y\right)^2$. Dalam hal ini, ${t_c}^2$ adalah kuadrat garis tinggi $\Delta ABC$ sehingga: $${t_c}^2=b^2-\left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2$$ Dengan demikian:

$\displaystyle {t_c}^2=b^2-\left(\frac{1}{2}c-y\right)^2$
$\displaystyle b^2-\left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2=b^2-\left(\frac{1}{2}c-y\right)^2$
$\displaystyle \left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2=\left(\frac{1}{2}c-y\right)^2$
$\displaystyle \frac{b^2-a^2+c^2}{2c}=\frac{1}{2}c-y$
$\displaystyle y=\frac{1}{2}c-\frac{(b^2-a^2+c^2)}{2c}$

Sekarang perhatikan $\Delta CED$ siku-siku di titik $E$. Dengan demikian diperoleh hubungan:

$\displaystyle {P_c}^2={t_c}^2+y^2$
$\displaystyle =b^2-\left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2+\left(\frac{1}{2}c-\frac{(b^2-a^2+c^2)}{2c}\right)^2$
$\displaystyle =b^2-\left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2+\frac{1}{4}c^2-\frac{(b^2-a^2+c^2)}{2}+\left(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)^2$
$\displaystyle =b^2+\frac{1}{4}c^2-\frac{(b^2-a^2+c^2)}{2}$
$\displaystyle =\frac{b^2}{2}+\frac{a^2}{2}-\frac{c^2}{4}$
$\displaystyle P_c=\sqrt{\frac{b^2}{2}+\frac{a^2}{2}-\frac{c^2}{4}}$


Jadi kita telah membuktikan rumus panjang garis berat segitiga. Selanjutnya akan diberikan contoh soal sebagai berikut:

Contoh:
Diketahui segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AC=BC=5$ cm dan $AB=8$ cm. Tentukan panjang garis berat $\Delta ABC$ yang melalui titik $C$.
Penyelesaian:
$a=BC=5$ cm, $b=AC=5$ cm, dan $c=AB=8$ cm. Maka: $$P_c=\sqrt{\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{4}c^2}$$ $$=\sqrt{\frac{1}{2}(5^2)-\frac{1}{4}(8^2)}$$ $$P_c=\sqrt{9}=3$$ Jadi, panjang garis berat $\Delta ABC$ yang melalui titik $C$ adalah 3 cm.

Demikianlah postingan tentang garis berat segitiga. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *