Loading...
Perlu anda ketahui bahwa tidak semua fungsi dapat kita cari nilai integralnya dengan rumus umum (metode analitik). Pada pembahasan kali ini akan diulas mengenai cara mencari hasil integral reimann dengan metode simpson. Metode simpson ini adalah metode yang sangat mendekati hasil aslinya (hasil dengan menggunakan metode analitik) yang tergantung dengan seberapa banyak kita mengambil iterasinya. Apa itu iterasi?, iterasi dalam matematika merupakan proses sistematik yang dilakukan berulang-ualang. Secara sederhana iterasi merupakan proses substitusi suatu nilai kedalam suatu fungsi. Pada pokok bahasan ini kita hanya memakai kaidah simpson 1/3 yang sering digunakan Berikut ini pola rumus integral numerik kaidah simpson 1/3:
$$\int_{b}^{a}f(x)~dx \approx \frac{h}{3}(f_0+K_f+f_n)$$ dimana: $n$ adalah bilangan asli yang bukan kelipatan 3.
$$h=\frac{a-b}{n}.$$ $$K_f=4.f_1+2.f_2+4.f_3+…$$ Koefisien 4, 2, 4, 2, …, 4 yang mana koefisien terakhir harus 4.


Langkah awal yang perlu kita tentukan adalah nilai $n$. Semakin banyak iterasi yang kita lakukan maka semakin tepat nilai integralnya.
Langkah kedua kita cari nilai $x_0=b$ sampai dengan $x_n=a$ dengan cara menjumlahkan hasilnya dengan $h$. Langkah terakhir kita cari hasilnya dengan rumus yang sudah ditentukan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh 1:
Hitunglah $$\int_{1}^{3}x~dx$$ dengan menggunakan integrasi numerik kaidah simpson 1/3 dengan $n=10$ dan bandingkan hasilnya dengan metode analitik!
Penyelesaian:
Pada contoh 1 ini sengaja kita buat soal integral yang mudah karena untuk membandingkan dengan hasil asli (metode analitik). Secara analitik, hasil integral reimann tersebut adalah: $$\int_{1}^{3}x~dx=\frac{1}{2}x^2 \Bigr|_{1}^{3}$$ $$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4$$ Kemudian akan kita cari hasil integralnya dengan cara integrasi numerik kaidah simpson 1/3 berikut:
$$h=\frac{3-1}{10}=0,2$$ Perhatikan bahwa substitusi batas bawah maupun batas atas sudah terdefinisi sehingga kita tidak mengubahnya lagi. Carilah nilai $x_0$ sampai $x_{10}$, sebagai berikut:
$x_0=b=1$
$x_1=1+h=1,2$
$x_2=1,2+0,2=1,4$
$x_3=1,4+0,2=1,6$
$x_4=1,6+0,2=1,8$
$x_5=1,8+0,2=2$
$x_6=2+0,2=2,2$
$x_7=2,2+0,2=2,4$
$x_8=2,4+0,2=2,6$
$x_9=2,6+0,2=2,8$
$x_{10}=a=3$
Kemudian jumlahkan hasil berikut:
$f(x_0)=1$
$4f(x_1)=4,8$
$2f(x_2)=2,8$
$4f(x_3)=6,4$
$2f(x_4)=3,6$
$4f(x_5)=8$
$2f(x_6)=4,4$
$4f(x_7)==9,6$
$2f(x_8)=5,2$
$4f(x_9)=11,2$
$f(x_{10})=3$
_______________ $+$
= 60
Kemudian kalikan dengan $h/3$. Jadi hasil akhirnya adalah 4. Perhatikan bahwa hasil akhir ini sama dengan cara menggunakan metode analitik. Tidak semua nilai $n$ dapat menghasilkan hasil integral yang sama dengan metode analitik.

Untuk selanjutnya kita akan mencari hasil integral reimann dengan fungsi yang lebih rumit dan ini mengharuskan kita menggunakan kalkulator saintifik ataupun software seperti Ms. Excel. Dalam hal ini penulis menggunakan Ms. Excel karena mudah digunakan di PC maupun android. Sekarang perhatikan contoh 2 berikut ini:
Contoh 2:
Tentukan hasil $$\int_{2}^{6}\frac{(\text{ln}x)(2+3x^2)^6}{\text{sin}(x^2+1)}~dx$$ dengan metode simpson 1/3 dan gunakan $n=16$.
Penyelesaian:
Anda dapat melihat dan mendownload file Ms. Excelnya di link ini:

Hasil akhirnya memberikan nilai $-9,55$x$10^12$. Untuk mencari hasil otomatis tabel Ms. Excel itu anda cukup memasukkan rumus pada sel tertentu kemudian tarik/copy paste sampai hasil yang diinginkan. Untuk mengisi kolom fn maka terlebih dahulu kita harus mengisi kolom xn. Untuk mengisi kolom xn mula-mula sel awal diisi dengan nilai 2 dan sel kedua isi dengan =b2+0,25 sebagian versi Ms. Excel ada yang menggunakan simbol desimal dengan .
Kemudian tarik ke bawah sampai pada kolom n=16. Untuk mengisi kolom fn, pada sel pertamanya ketikkan fungsinya dengan variabelnya adalah sel pertama xn kemudian tarik/copy paste sampai n=16. Saya sara pembaca sudah sangat jelas dengan memperhatikan file Ms. Excel yang harus didownload terlebih dahulu. Mungkin sampai disini pertemuan kita, salam berbagi dan semoga bermanfaat.