Loading...
Pada pertemuan ini, akan dibahas mengenai
teknik pengintegralan. Akan disajikan 4 teknik
pengintegralan yaitu teknik substitusi aljabar,
teknik substitusi trigonometri, teknik parsial,
dan teknik dalam integral fungsi
rasional. Sebelum membahas
lebih jauh keempat teknik itu, maka pembaca
diharuskan mengetahui rumus dasar integral
sebagai berikut:
Rumus Dasar Integral
a. Rumus dasar
integral fungsi konstanta
dan fungsi berpangkat.
$$*~\int~k~du=k.u+C$$
$$*~\int~\frac{du}{u}=ln|u|+C$$
Untuk $~r \ne -1~$ maka:
$$*~\int~u^r~du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C$$
b. Rumus dasar integral fungsi eksponen
$$*~\int~e^u~du=e^u+C$$
Untuk $~a \ne 1~$ dan $~a>0~$ maka:
$$*~\int~a^u~du=\frac{a^u}{ln~a}+C$$
c. Rumus dasar integral
fungsi trigonometri
$$*~\int~sin~u~du=-cos~u+C$$
$$*~\int~cos~u~du=sin~u+C$$
$$*~\int~sec^2u~du=tan~u+C$$
$$*~\int~csc^2u~du=-cot~u+C$$
$$*~\int~sec~u.tan~u~du=sec~u+C$$
$$*~\int~csc~u.cot~u~du=-csc~u+C$$
$$*~\int~tan~u~du=-ln|cos~u|+C$$
$$*~\int~cot~u~du=ln|sin~u|+C$$
$$*~\int~sec~u~du=ln|sec~u+tan~u|+C$$
$$*~\int~csc~u~du=-ln|csc~u+cot~u|+C$$
d. Rumus dasar integral
anti trigono.
$$*~\int~\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$$
$$*~\int~\frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}~tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$$
$$*~\int~\frac{du}{u.\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}~sec^{-1}\left(\frac{|u|}{a}\right)+C$$
Berikut ini disajikan 4 teknik integral:
1. Teknik Integral Substitusi Aljabar
Rumus teknik integral substitusi: (Teknik Substitusi). Untuk
menentukan $~\int~f(x)~dx,~$ kita dapat
mensubstitusikan $~u=g(x)~$ dengan $~g~$
adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila
substitusi itu mengubah $~f(x)~dx~$ menjadi
$~h(u)~du~$ dan apabila $~H~$ adalah antiturunan
$~h~$, maka:
$$\int~f(x)~dx=\int~h(u)~du$$
$$=H(u)+C=H(g(x))+C$$
Contoh 1:
Tentukan $$\int~\frac{x~dx}{cos^2(x^2)}$$
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan rumus dasar bentuk $~\int~sec^2u~du$. Ambil $~u=x^2~$ maka $~du=2x~dx~$ atau $~x~dx=du/2$. Sehingga:
$$\int~\frac{x~dx}{cos^2(x^2)}$$ $$=\frac{1}{2}.\int sec^2u~du$$ $$=\frac{1}{2}.tan~u+C$$ $$=\frac{1}{2}.tan~x^2+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int \frac{3}{\sqrt{5-9x^2}}~dx$$
Penyelesaian:
Ingatlah rumus dasar $$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}$$ Ambil $~u=3x~$ maka $~du=3~dx$. Sehingga kita peroleh:
$$\int \frac{3}{\sqrt{5-9x^2}}~dx$$ $$=\int \frac{du}{\sqrt{5-u^2}}$$ $$=sin^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right)+C$$ $$=sin^{-1}\left(\frac{3x}{\sqrt{5}}\right)+C$$
Contoh 3:
Hitunglah $$\int~\frac{6.e^{1/x}}{x^2}~dx$$
Penyelesaian:
ingat rumus dasar $~\int e^u~du$. Ambil $~u=1/x~$ maka $~du=dx/x^2$. Sehingga:
$$\int~\frac{6.e^{1/x}}{x^2}~dx$$ $$=-6.\int e^u~du$$ $$=-6.e^u+C$$ $$=-6.e^{1/x}+C$$
Tidak ada hukum yang mengharuskan anda menggunakan substitusi $u$. Berikut ini contoh tanpa menggunakan variabel $u$.
Contoh 4:
Tentukan $$\int~sin^2x.cos~x~dx$$
Penyelesaian:
$$\int~sin^2x.cos~x~dx$$ $$=\int~sin^2x~d(sin~x)$$ ingat! turunan sin itu cos.
$$=\frac{1}{3}.sin^3x+C$$
Kita telah selesai membahas teknik integral dengan substitusi menggunakan variabel $u$ dan juga substitusi langsung. Kemudian kita akan membahas teknik substitusi trigonometri.
2. Teknik Substitusi Trigonometri
Tidak jauh beda dengan teknik substitusi bentuk al jabar, berikut ini diberikan contoh soal teknik substitusi trigonometri:Contoh 1:
Tentukan $$\int \sqrt{4-x^2}~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~x=2.sin~u~$ maka $~dx=2.cos~u~du$. Jadi, $$\int \sqrt{4-x^2}~dx$$ $$=\int \sqrt{4.(1-sin^2u)}.~(2.cos~u)~du$$ $$=4.\int cos^2~u~du$$ ingat rumus sudut setengah cos, maka diperoleh: $$=4.\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.cos2u \right)~du$$ $$=2u+sin2u+C$$ $$=2.sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}.\sqrt{4-x^2}+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$
Penyelesaian:
Ambil $~x=5.tan~t~$ maka $~dx=5.sec^2t~dt$. Sehingga: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$ $$=\int \frac{5.sec^2t~dt}{5.sec~t}$$ $$=\int sec~t~dt$$ $$=ln|sec~t+tan~t|+C$$ Kita tahu identitas trigonometri berasal dari segitiga siku-siku. Karena $~tan~t=x/5~$ maka jelas bahwa $$~sec~t=\frac{1}{5} \sqrt{x^2+25}$$ Jadi, $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+25}}$$ $$=ln \left|\frac{\sqrt{x^2+25}}{5}+\frac{x}{5}\right|+C$$ $$=ln|x+\sqrt{x^2+25}|-ln5+C$$ $$=ln|x+\sqrt{x^2+25}|+K$$
3. Teknik Integral Parsial
Teknik ini berasal dari rumus turunan perkalian dua fungsi. Misalkan bentuk perkalian dua fungsi itu adalah $~u(x).v(x)~$ maka $~[u(x).v(x)]’=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)~$ sehingga bila notasi $x$ kita hilangkan dan kedua ruas kita integralkan maka diperoleh:$$u.v=\int v~du+\int u~dv$$ biasanya teknik parsial ini disebut teknik reduksi, sehingga dituliskan dalam bentuk:
$$\int u~dv=u.v-\int v~du$$
Contoh 1:
Tentukan $$\int~ln~x~dx$$
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa jika kita ambil $~u=ln~x~$ dan $~dv=dx~$ maka kita peroleh:
$$du=\frac{dx}{x}$$ dan $$v=x$$ kita dapat menghilangkan konstanta $C$. Jadi, $$\int~ln~x~dx$$ $$=x.ln~x-\int x.\frac{dx}{x}$$ $$=x.ln~x-\int~dx$$ $$=x.(ln~x)-x+C$$
Contoh 2:
Tentukan $$\int x.cos~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=x~$ dan $~dv=cos~x~dx~$ maka $~du=dx~$ dan $~sin~x$. Sehingga: $$\int x.cos~x~dx$$ $$=x.sin~x-\int sin~x~dx$$ $$=x.sin~x+cos~x+C$$
Contoh 3:
Dalam contoh 2 ini akan dijelaskan teknik parsial berulang.
Tentukan $$\int x^2.sin~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=x^2~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ maka diperoleh: $~du=2x~dx~$ dan $~v=-cos~x$. Sehingga: $$\int x^2.sin~x~dx$$ $$=-x^2.cos~x+2.\int x.cos~x~dx$$ Perhatikan bahwa kita telah mereduksi $~x^2~$ menjadi $~x~$ artinya pangkatnya berkurang 1. Kemudian kita akan mencari $~\int x.cos~x~dx$ dengan teknik parsial kembali. Karena $~\int x.cos~x~dx$ sudah kita cari pada contoh 2, jadi: $$\int x^2.sin~x~dx$$ $$=-x^2.cos~x+2.(x.sin~x+cos~x+C)$$ $$=-x^2.cos~x+2x.sin~x+2.cos~x+K$$
Contoh 4:
Dalam contoh 4 ini akan kita bahas teknik parsial berulang yang menghasilkan bentuk awal.
Tentukan $$\int e^x.sin~x~dx$$
Penyelesaian:
Ambil $~u=e^x~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ mak kita peroleh $~du=e^x~dx~$ dan $~v=-cos~x$. Sehingga: $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=-e^x.cos~x+\int e^x.cos~x~dx$$ Kemudian kita cari $~\int e^x.cos~x~dx~$ dengan mengambil kembali $~u=e^x~$ dan $~dv=cos~x~dx$ maka $~du=e^x~dx~$ dan $~v=sin~x$. Sehingga, $$~\int e^x.cos~x~dx~$$ $$=e^x.sin~x-\int e^x.sin~x~dx$$ Perhatikan bahwa ia menghasilkan bentuk awal yakni $~\int e^x.sin~x~dx$. Sehingga, $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=-e^x.cos~x+e^x.sin~x-\int e^x.sin~x~dx$$ atau $$2.\int e^x.sin~x~dx$$ $$e^x.(sin~x-cos~x)+C$$ Jadi: $$\int e^x.sin~x~dx$$ $$=\frac{1}{2}.e^x.(sin~x-cos~x)+K$$
Sekarang coba anda cari $~\int sin^nx~dx~$ dengan mengambil $~u=sin^{n-1}x~$ dan $~dv=sin~x~dx~$ yang akan menghasilkan reduksi dari pangkat $~n~$ menjadi pangkat $~n-2~$ pada sinus.
4. Teknik Penyelesaian Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Sebagai contoh $$f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}$$ $$g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}$$ $$h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}$$ fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut, sedangkan fungsi $h(x)$ adalah fungsi rasional tak sejati karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut. Fungsi $h(x)$ dapat kita sederhanakan dengan cara pembagian polinomial yang telah kita pelajari pada materi polinomial. Bentuk $h(x)$ yang disederhanakan itu sebagai berikut. $$h(x)=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}$$ Ok, kembali kita pada pengintegralan fungsi rasional. Perhatikan contoh berikut:Contoh 1:
Tentukan $$\int \frac{2~dx}{(x+1)^3}$$
Penyelesaian:
kita dapat menyelesaikan ini dengan metode substitusi. Maka: $$\int \frac{2~dx}{(x+1)^3}$$ $$=2.\int (x+1)^{-3}~d(x+1)$$ $$=\frac{-1}{(x+1)^2}+C$$
Contoh 2: (faktor linear yang berlainan)
Tentukan $$\int \frac{3x-1}{x^2-x-6}~dx$$ Penyelesaian:
Karena $~x^2-x-6=(x+2)(x-3)$, maka kita dapat mengubah bentuk fungsinya menjadi $$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}$$ sehingga $~3x-1=A(x-3)+B(x+2)~$ atau dengan kesetaraan eqivalensi diperoleh:
$$3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)$$ maka diperoleh:
$A+B=3$
$-3A+2B=-1$
jika kita menyelesaikannya akan diperoleh $~A=7/5~$ dan $~B=8/5$. Sehingga: $$\int \frac{3x-1}{x^2-x-6}~dx$$ $$=\frac{7}{5}.\int \frac{dx}{x+2}+\frac{8}{5}.\int \frac{dx}{x-3}$$ $$=\frac{7}{5}.ln|x+2|+\frac{8}{5}.ln|x-3|+C$$
Contoh 3: (faktor linear berbeda)
Tentukan $$\int \frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}~dx$$
Penyelesaian:
Kita tahu uraian penyebutnya adalah $~x(x+1)(x-3)$. Sehingga:
$5x+3=A(x+1)(x-3)+$
$B(x)(x-3)+C(x)(x+1)$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan nilai $~x=0,~x=-1$ dan $x=3$, maka kita peroleh: $$3=A(-3)$$ $$-2=B(4)$$ $$18=C(12)$$ atau $~A=1,~B=-1/2$ dan $C=3/2$. Jadi, $$\int \frac{5x+3}{x^3-2x^2-3x}~dx$$ $$=-\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}$$ $$+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3}$$ $$=-ln|x|-\frac{1}{2}ln|x+1|$$ $$+\frac{3}{2}ln|x-3|+C$$
Contoh 4: (faktor linear berulang)
Tentukan $$\int \frac{x~dx}{(x-3)^2}$$
Penyelesaian:
Kita akan mengubah bentuk rasionalnya menjadi: $$\frac{x}{(x-3)^2}$$ $$=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}$$ Pengali penyebut pada $(x-3)$ adalah $(x-3)$ dan pengali penyebut pada $(x-3)^2$ adalah 1. Sehingga diperoleh: $~x=A(x-3)+B$ yang jika kita substitusikan $x=3$ maka diperoleh $B=3$ kemudian kita substitusikan $x=0$ diperoleh $A=1$. Jadi, $$\int \frac{x~dx}{(x-3)^2}$$ $$=\int \frac{dx}{x-3}+3.\int \frac{dx}{(x-3)^2}$$ $$=ln|x-3|-\frac{3}{x-1}+C$$
Demikianlah postingan tentang teknik pengintegralan yang sering digunakan. Sekian dan terima kasih, semoga bermanfaat..