Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis dalam Ruang Dimensi-3

Loading...
Koordinat Titik Yang Membagi Ruas Garis dalam Ruang Dimensi-3

Selamat datang para pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada kesempatan ini saya akan menjelaskan materi tentang koordinat titik yang membagi ruas garis dalam ruang dimensi-3.



Jika titik $R(x,~y,~z)$ membagi garis $PQ$ dengan perbandingan $m:n$ dan $P(x_1,~y_1,~z_1)$ dan $Q(x_2,~y_2,~z_2)$ maka koordinat $R$ dapat ditentukan sebagai berikut:

Perhatikan gambar di atas, untuk $PK$, $QN$, dan $RS$ tegak lurus bidang $XOY$. Dan $KSN$ adalah garis potong bidang $XOY$ dengan bidang $PQNK$. Garis $LRM$ // $KSN$, maka $\angle LPR$ sebangun dengan $\angle MQR$ sehingga:


$\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{PR}{RQ}=\frac{PL}{QM}=\frac{RS-PK}{QN-RS} ~ \iff ~ \frac{m}{n}=\frac{z-z_1}{z_2-z}$
$\iff m.z_2-m.z=n.z-n.z_1$
$\iff m.z+n.z=m.z_2+n.z_1$
$\displaystyle \iff z=\frac{m.z_2+n.z_1}{m+n}$

Dengan cara yang sama, dengan menarik garis-garis tegak lurus pada bidang $YOZ$ dan $XOZ$ maka diperoleh:
$\displaystyle x=\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n}$ dan $\displaystyle y=\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n}$
Jadi koordinat $R$ adalah:


$\displaystyle R\left(\frac{m.x_2+n.x_1}{m+n},~\frac{m.y_2+n.y_1}{m+n},~\frac{m.z_2+n.z_1}{m+n}\right)$

Jika $R$ adalah titik tengah ruas garis $PQ$, maka $R$ membagi $PQ$ dengan perbandingan $1:1$.

Jadi

$\displaystyle R\left(\frac{x_2+x_1}{2},~\frac{y_2+y_1}{2},~\frac{z_2+z_1}{2}\right)$

Bentuk perbandingan $m:n$ dapat ditulis sebagai $k$, dimana $k$ dapat bernilai positif atau negatif tergantung pada kedudukan $R$ apakah berada diantara $P$ dan $Q$ atau pada perpanjangannya.
Jika:
* $k>0$ maka $R$ terletak diantara $P$ dan $Q$.
* $-1 < k < 0$ maka $R$ terletak di perpanjangan $QP$ (pada pihak P).
* $k=-1$ maka $R$ suatu titik di tak berhingga.
* $k < -1$ maka $R$ terletak di perpanjangan $PQ$ (pada pihak $Q$).
dalam hal ini koordinat $R$ menjadi: $$R\left(\frac{kx_2+x_1}{1+k},~\frac{ky_2+y_1}{1+k},~\frac{kz_2+z_1}{1+k}\right)$$ dimana $k \ne -1$.

Contoh Soal:
Jika $K(-4,~5,~-6)$ dan $L(2,~-4,~3)$, tentukan koordinat titik $S$ yang membagi $KL$ dengan perbandingan $-4:1$.
Jawab:


$\displaystyle S\left(\frac{(-4)2+1(-4)}{1-4},~\frac{(-4)(-4)+1(5)}{1-4},~\frac{(-4).3+1(-6)}{1-4}\right)$
$=S(4,~-7,~6)$

Latihan Soal:
1. Jika $P(-4,~4,~6)$ dan $Q(4,~5,~-6)$, berapakah koordinat titik $S$ sedemikian hingga $PS:QS=1:2$?
2. Jika $A(-4,~0,~6)$ dan $B(0,~5,~-6)$, berapakah koordinat titik $T$ yang membagi $AB$ atas perbandingan $2:-1$?.

Demikianlah postingan ini, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *