Luas Daerah dengan Menggunakan Integral

Loading...

Selamat datang pengunjung mathematic.my.id,,
Pada pokok bahasan ini akan kita ulas mengenai luas daerah bidang rata yang dicari dengan integral. Nah, berbicara mengenai integral pasti tidak asing lagi dengan bentuk $\displaystyle \int_{b}^{a}~f(x)~dx$. Sebelumnya para pembaca harus mengetahui terlebih dahulu cara mengetahui integral tak tentu. Dalam mempelajari integral tak tentu ini selengkapnya bisa anda baca di: Integral Tak Tentu (Teknik Menghitung Integral).
Kembali ke luas daerah yang dimaksud itu pasti akan dibatasi dengan fungsi dan sumbu koordinat. Pemahaman untuk mencari luas ini dengan integral tentu juga sangat mudah. Jika kita memakai $dx$ maka batas atas dan bawah yakni $a$ dan $b$ itu dari sumbu $x$. Sedangkan jika kita memakai $dy$ maka batas atas dan bawah merupakan nilai dari $dy$.

Berikut ini adalah rumusan mencari luas daerah bidang rata yang dibatasi dengan fungsi dan sumbu koordinat:

Untuk batas di sumbu $x$: $$\text{Luas}=\int_{b}^{a}~f(x)~dx$$
Untuk batas di sumbu $y$: $$\text{Luas}=\int_{b}^{a}~f(y)~dy$$

Pasti sekarang pembaca sudah sangat paham. Kita akan melihat contoh-contoh seperti berikut ini:
Contoh 1:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh $f(x)=3x^2$, batas bawah $x=1$ dan batas atas $x=3$.
Jawab:
$$\text{Luas}=\int_{1}^{3}~3x^2~dx$$ $$=x^3 \bigr|_{1}^{3}=3^3-1^3=26$$


Contoh 2:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh $f(x)=x^2+3$, batas bawah $y=3$ dan batas atas $y=6$.
Jawab:
Karena batas di sumbu $y$ maka kita ubah dulu fungsinya menjadi $f(y)$. Sebenarnya $f(x)=y$ dan $f(y)=x$, jadi untuk mencari $f(y)$ maka kita keluarkan saja $x$. Dari bentuk $y=x^2+3$ maka secara aljabar $x=\sqrt{y-3}$ atau $f(y)=\sqrt{y-3}$. Jadi: $$\text{Luas}=\int_{3}^{6}~\sqrt{y-3}~dy$$ $$=\frac{2}{3}.\sqrt{(y-3)^3} \bigr|_{3}^{6}$$ $$=\frac{2}{3}.\sqrt{27}$$

Contoh 3:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh $f(x)=x^2-4x+3$ dan sumbu $x$.
Jawab:
Pada contoh 3 ini batas atas dan bawahnya tidak disebutkan yang disebutkan hanya sumbu $x$ saja, ya karena batas bawah dan atasnya ada pada $f(x)$. Perhatikan bahwa $f(x)$ memotong sumbu $x$ di dua titik, cara mencarinya juga mudah yakni dengan pembuat nol fungsi $$x^2-4x+3=0$$ $$(x-1)(x-3)=0$$ $$x=1~\text{dan}~x=3$$ Sehingga: $$\text{Luas}=\int_{1}^{3}~(x^2-4x+3)~dx$$ $$=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x \bigr|_{1}^{3}$$ $$=(9-18+9)-(\frac{1}{3}-2+3)$$ $$=0-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$$ Hasil yang negatif itu dijadikan positif. Hasil negatif dikarenakan daerahnya berada di bawah sumbu $x$ (untuk $dx$) atau di sebelah kiri sumbu $y$ (untuk $dy$).
Demikianlah postingan singkat mengenai luas daerah dengan menggunakan integral. Semoga para pelajar semakin banyak yang menyukai pelajaran matematika. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *