Loading...
Menjumlahkan dan Mengurangkan Vektor Selamat datang pengunjung mathematic.my.id,,
Pada pertemuan ini akan kita bahas tentang cara menjumlahkan dan mengurangkan vektor. Jika para pembaca belum mengenal apa saja contoh besaran sekalar dan besaran vektor, maka para pembaca dapat membaca di:
Pengenalan Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Menjumlahkan dan mengurangkan vektor dapat dilakukan dengan beberapa cara, diantaranya cara jajaran genjang dan cara segi banyak (poligon). Baiklah akan kita bahas sebagai berikut:

(1) Cara Jajaran Genjang

Bila ada dua buah vektor $\vec{F_1}$ dan $\vec{F_2}$ memepunyai titik tangkap berimpit, dan satu sama lain membentuk sudut $\theta$, maka jumlah atau resultan kedua vektor tersebut adalah:
$$\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$$ Secara geometri, maka panjang atau besar $\vec{R}$ adalah:

$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{|\vec{F_1}|^2+|\vec{F_2}|^2+2. |\vec{F_1}|.|\vec{F_2}|.\text{cos }\theta}$

Untuk visualisasinya perhatikan gambar berikut:


Contoh Soal:
Dua vektor satu sama lain membentuk sudut 60$^o$, kedua vektor tersebut sama panjang sebesar 4 satuan. Tentukanlah resultannya.
Jawab:

$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{4^2+4^2+2.(4).(4).\text{cos }60^o}$
$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{32+32.\left(\frac{1}{2}\right)}$
$\displaystyle |\vec{R}|=4\sqrt{3}$

Apabila diketahui sudut $\alpha$ dan $\beta$ seperti gambar dibawah ini maka dapat juga berlaku persamaan:


$\displaystyle \frac{|\vec{a}|}{\text{sin }\alpha}=\frac{|\vec{b}|}{\text{sin }\beta}=\frac{|\vec{R}|}{\text{sin }(\alpha+\beta)}$

Contoh Soal:
Jika sudut antara $\vec{F_1}$ dengan $\vec{F_2}$ sebesar 120$^o$ dan $\vec{R}$ = 10 N maka harga $\vec{F_1}$ dan $\vec{F_2}$ adalah ….
Jawab:
Karena bentuk jajaran genjanv maka sudut dibagi dua, sehingga diperoleh $\alpha=\beta=60^o$. Jadi: $$\frac{F_1}{\text{sin }60^o}=\frac{R}{\text{sin }120^o}$$ $$\frac{F_1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{10}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$$ $$F_1=10 \text{ N}$$ Karena $\alpha=\beta$ maka $F_1=F_2=10$ N.

Mengurangkan Vektor
Diberikan dua buah vektor $\vec{F_1}$ dan $\vec{F_2}$ mengapit sudut $\theta$, maka selisih vektor $\vec{F_1}-\vec{F_2}$ dapat digambarkan menjadi:

Pengurangan kedua vektor dituliskan dengan:
$\vec{R}=\vec{F_1}-\vec{F_2}$
atau $\vec{R}=\vec{F_1}+(-\vec{F_2})$
Panjang dari $\vec{R}$ ditentukan oleh:

$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{|\vec{F_1}|^2+|\vec{F_2}|^2-2. |\vec{F_1}|.|\vec{F_2}|.\text{cos }\theta}$


Contoh Soal:
Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 120$^o$, kedua vektor tersebut sama panjang sebesar 4 satuan. Tentukan besar selisih kedua vektor.
Jawab:

$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{4^2+4^2-2(4)(4).\text{cos }120^o}$
$\displaystyle |\vec{R}|=\sqrt{16+16-32\left(-\frac{1}{2}\right)}$
$=\displaystyle 4\sqrt{3}$.

Jadi selisih kedua vektor tersebut $4\sqrt{3}$ satuan.

(2) Cara segi banyak (Poligon)

Vektor-vektor yang akan dijumlahkan secara segi banyak dapat dipindah-pindahkan, asalkan panjang dan arahnya tidak diubah.
Perhatikan gambar berikut:

Jadi vektor $\vec{A}$ dipindahkan, vektor $\vec{B}$ disambung dari ujung vektor $\vec{A}$, vektor $\vec{C}$ disambung dari $\vec{B}$ dan vektor $\vec{D}$ disambung dari $\vec{C}$, gabungan seluruh vektor ini menjadi $\vec{R}$, sehingga dapat dituliskan:
$\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}$
Contoh Soal:
Dari gambar berikut:

Tentukan vektor $\vec{D}$.
Jawab:
Dengan mudah kita dapat menuliskan:
$\vec{D}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$
Karena titik tangkap vektor yang pertama yaitu vektor $\vec{A}$ berimpit dengan vektor $\vec{D}$, sehingga dapat ditentukan $\vec{B}$ sambungan dari $\vec{A}$ dan $\vec{C}$ sambungan dari $\vec{B}$.

Vektor Nol
Bila beberapa buah vektor dijumlahkan secara segi banyak, dimana ujung (arah) vektor yang terakhir bertemu kembali dengan titik tangkap vektor yang pertama maka resultan dari semua vektor-vektor tersebut besarnya nol.
Perhatikan penjelasan gambar berikut:

Contoh soal:
Dari gambar berikut, vektor $\vec{C}=$….

Jawab:

Bila kita tinjau vektor-vektor tersebut maka arah vektor yang terakhir ($\vec{E}$) berimpit dengan titik tangkap vektor mula-mula ($\vec{A}$) dan seluruh vektor membentuk sebuah siklus tertutup, maka:

$\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}+\vec{E}=0$

Sehingga:
$\vec{C}=-\vec{A}-\vec{B}-\vec{D}-\vec{E}$.

Demikianlah postingan tentang menjumlahkan dan mengurangkan vektor. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.