Loading...

Dalam matematika dan sains, kerap kali kita perlu untuk mencari akar-akar (penyelesaian) suatu persamaan $f(x)=0$. Supaya pasti, jika $f(x)$ suatu polinom linear atau kuadrat, rumus-rumus untuk penulisan penyelesaian yang eksak ada dan dikenal. Tetapi untuk persamaan aljabar lainnya, dan secara pasti untuk persamaan transenden, rumus-rumus untuk penyelesaian eksak jarang tersedia. Apa yang dapat diperbuat dalam kasus demikian?.



Terdapat suatu metode umum penyelesaian masalah yang terkenal untuk semua orang yang memerlukan. Ia boleh disebut sebagai “acak-acakan” atau “coba-coba”. Misalnya secangkir teh, kita tambahkan gula sedikit demi sedikit sampai rasa manisnya cocok. Diberikan suatu bambu yang ingin dijadikan layangan, kemudian bambu itu kita belah kecil dan kita seimbangkan untuk membuat sayap layangan, pasti dalam menyeimbangkannya kita raut sedikit-demi sedikit sampai ia pas dan seimbang. Kita ubah penyelesaian sedikit setiap kali, memperbaiki kecermatan, sampai memberikan hasil yang sesuai. Matematikawan menyebut proses ini sebagai metode aproksimasi beruntun atau metode iterasi.
Pada pembahasan ini, kita sajikan dua metode yang demikian untuk menyelesaikan persamaan. Metode itu adalah Metode Bagidua dan Metode Newton-Raphson. Keduanya dirancang untuk mencari akar-akar riil dari $f(x)=0$. Keduanya memerlukan banyak komputasi. Kita akan menggunakan aplikasi Ms. Excel besutan Microsoft.

1. Metode Bagidua

Metode ini mempunyai dua kebaikan besar yaitu kesederhanaan dan keterandalan. Ia juga mempunyai keburukan langkah yaitu iterasi yang sangat besar untuk mencapai kecermatan (yang dikenal dengan kelambatan kekonvergenan).
Metode bagidua ini adalah metode tertutup karena akar penyelesaian sudah berada dalam selang iterasi. Misalkan selang itu [$a,~b$] sehingga $f(a).f(b)<0$. Pada setiap kali lelaran, selang [$a,~b$] kita bagi dua di $x=c$, sehingga terdapat dua buah selang yang berukuran sama, yaitu selang [$a,~c$] dan [$c,~b$]. Selang baru yang diambil harus mengikuti syarat berikut:
Jika $f(a).f(c)$ bernilai negatif maka selang baru adalah [$a,~c$], sebaliknya jika $f(a).f(c)$ bernilai positif maka selang baru adalah [$c,~b$].

Untuk galat atau kecermatannya adalah selisih nilai pada selang baru. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
Contoh Metode Bagidua:
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $e^x=5x^2$ dimana nilai $x$ berada dalam selang [0, 1] dan gunakan galat $\epsilon=0.00001$.
Penyelesaian:
Ubah dahulu persamaannya menjadi: $e^x-5x^2=0$. Kemudian anda dapat melihat hasilnya yang telah saya cari dengan Ms. Excel dan anda dapat memahami formulanya dalam file ini: Hasil Metode Bagidua.
Jadi akarnya adalah $x=$0.605263.


2. Metode Newton-Raphson

Metode ini adalah metode terbuka karena kita tidak memakai selang seperti metode bagidua. Kita hanya memakai titik awal untuk menaksir akar penyelesaian. Kelemahan metode terbuka adalah jika titik awal sangat jauh dari penyelesaian maka akar penyelesaiannya tidak dapat kita peroleh, ini ditandai dengan hasil yang tidak tentu atau (divergen). Tetapi kita tidak perlu khawatir dengan titik taksiran yang jauh dari akar penyelesaian karena metode Newton-Raphson ini sangat cepat menemukan akar penyelesaian dari titik taksiran yang sangat jauh sekalipun. Metode Newton-Raphson ini sangat sering digunakan ilmuan matematika dalam menyelesaikan suatu persamaan. Berikut ini formula metode Newton-Raphson:
Metode Newton-Raphson:
$$x_{r+1}=x_r-\frac{f(x_r)}{f'(x_r)}$$ dimana $f'(x_r) \ne 0$ dan galat berhenti jika $|x_{r+1}-x_r| < \epsilon$.

Contoh Metode Newton-Raphson:
Carilah salah satu akar persamaan kubik $x^3-11x^2-46x+560=0$ dengan menggunakan metode Newton-Raphson!
Penyelesaian
Coba kita ambil nilai awal $x=0$ (titik taksiran), maka ini menghasilkan $f(0)=560>0$ sangat jauh dari 0 tetapi kita coba saja. Dari $f(x)=x^3-11x^2-46x+560$ kita peroleh: $f'(x)=3x^2-22x-46$ sehingga formula iterasinya adalah: $$x_{r+1}=x_r-\frac{(x_{r}^{3}-11x_{r}^{2}-46x_r+560)}{(3x_{r}^{2}-22x_r-46)}$$ Kemudian lihat hasilnya di file ini: Hasil Metode Newton-Raphson.
Perhatikan bahwa dalam hasil tersebut terlihat bahwa hasil iterasinya konvergen (akar penyelesaiannya ada) walaupun awalnya kita anggap pengambilan titik taksiran sangat jauh dengan akar penyelesaian.


Demikianlah postingan tentang bagaimana menyelesaikan persamaan secara numerik. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.