Loading...
Peluang Bersyarat

Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada pertemuan kali ini akan kita bahas mengenai peluang bersyarat. Peluang terjadinya suatu kejadian $B$ bila diketahui bahwa kejadian $A$ telah terjadi maka ini disebut dengan Peluang Bersyarat dan dinyatakan dengan $P(B|A)$. Lambang $P(B|A)$ ini biasa dibaca “Peluang $B$ terjadi bila diketahui $A$ terjadi” atau lebih sederhana lagi “Peluang $B$ bila $A$ diketahui”.
Pandanglah kejadian $B$ mendapatkan suatu kuadrat murni bila sebuah dadu dilantuntan, jadi $B=${1, 4}. Dadu tersebut dibuat sedemikian rupa sehingga peluang munculnya bilangan genap dua kali lebih besar dari peluang munculnya bilangan ganjil. Berdasarkan ruang sampel $T=${1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan bobot 1/9 untuk bilangan ganjil dan 2/9 untuk bilangan genap, maka peluang terjadinya $B$ adalah 1/9+2/9 = 1/3. Sekarang misalkan diketahui bahwa lantunan dadu menghasilkan bilangan lebih besar dari 3. Jadi ruang sampel yang dihadapi telah mengecil menjadi $A=${4, 5, 6}, yang merupakan himpunan bagian $T$. Untuk menggitung peluang nisbi terjadinya $B$ terhadap ruang $A$ maka perlu terlebih dahulu ditentukan bobot baru bagi unsur $A$ yang sebanding dengan bobot semula sedemikian rupa sehingga jumlahnya 1. Misalkanlah $b$ bobot baru untuk bilangan ganjil dalam $A$ dan $2b$ untuk bilangan genap, maka $2b+b+2b=1$ atau $b=1/5$. Nisbi terhadap ruang $A$, $B$, hanya mengandung unsur 4. Bila kejadian ini dinyatakan dengan lambang $B|A$ maka $B|A={4}$, jadi $$P(B|A)=\frac{2}{5}$$ Contoh ini memperlihatkan bahwa suatu kejadian dapat mempunyai peluang yang berlainan bila dipandang nisbi terhadap ruang sampel yang berlainan. Dapat pula ditulis:


$\displaystyle P(B|A)=\frac{2}{5}=\frac{2/9}{5/9}=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

$P(A \cap B)$ dan $P(A)$ diperoleh dari ruang sampel $T$ semula. Dengan perkataan lain, peluang bersyarat nisbi terhadap himpunan bagian $A$ dari $T$ dapat dihitung langsung dari peluang yang dikaitkan pada unsur ruang sampel $T$ semula.


Definisi Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat $B$ jika $A$ diketahui, dinyatakan dengan $P(B|A)$, ditentukan oleh:



$\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} ~\text{bila}~P(A)>0$.


Sebagai contoh selanjutnya, misalkan ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut:



Bekerja Tak Bekerja Jumlah
Lelaki 460 40 500
Wanita 140 260 400
Jumlah 600 300 900

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya keseluruh negeri. Kita ingin meneliti kejadian berikut:
$M=$ lelaki yang terpilih,
$E=$ orang yang terpilih dalam status bekerja.
Dengan menggunakan ruang sampel $E$ yang diperkecil diperoleh:
$$P(M|E)=\frac{460}{600}=\frac{23}{30}$$
Misalkan $n(A)$ menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan $A$. Dapat ditulis:



$\displaystyle P(M|E)=\frac{n(E \cap M)}{n(E)}=\frac{n(E \cap M)/n(T)}{n(E)/n(T)}=\frac{P(E \cap M)}{P(E)}$.

$P(E \cap M)$ dan $P(E)$ diperoleh dari ruang sampel semula $T$. Untuk memeriksa hasil ini, perhatikan bahwa: $$P(E)=\frac{600}{900}=\frac{2}{3}$$ dan $$P(M|E)=\frac{23/45}{2/3}=\frac{23}{30}$$ seperti hasil sebelumnya.

Contoh:

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu $P(B)=0,83$; peluang sampai tepat waktu $P(S)=0,82$ serta peluang berangkat dan sampai tepat waktu $P(B \cap S)=0,78$. Cari peluang bahwa:
a). Pesawat sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu.
b). Pesawat berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab:
a). Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu: $$P(S|B)=\frac{P(B \cap S)}{P(B)}$$ $$=\frac{0,78}{0,83}=0,94$$ b). Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu: $$P(B|S)=\frac{P(B \cap S)}{P(S)}$$ $$=\frac{0,78}{0,82}=0,95$$
Demikianlah postingan tentang Peluang Bersyarat. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.