PELUANG BERSYARAT

Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada pertemuan kali ini akan kita bahas mengenai peluang bersyarat. Peluang terjadinya suatu kejadian $B$ bila diketahui bahwa kejadian $A$ telah terjadi maka ini disebut dengan Peluang Bersyarat dan dinyatakan dengan $P(B|A)$. Lambang $P(B|A)$ ini biasa dibaca “Peluang $B$ terjadi bila diketahui $A$ terjadi” atau lebih sederhana lagi “Peluang $B$ bila $A$ diketahui”.
Pandanglah kejadian $B$ mendapatkan suatu kuadrat murni bila sebuah dadu dilantuntan, jadi $B=${1, 4}. Dadu tersebut dibuat sedemikian rupa sehingga peluang munculnya bilangan genap dua kali lebih besar dari peluang munculnya bilangan ganjil. Berdasarkan ruang sampel $T=${1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan bobot 1/9 untuk bilangan ganjil dan 2/9 untuk bilangan genap, maka peluang terjadinya $B$ adalah 1/9+2/9 = 1/3. Sekarang misalkan diketahui bahwa lantunan dadu menghasilkan bilangan lebih besar dari 3. Jadi ruang sampel yang dihadapi telah mengecil menjadi $A=${4, 5, 6}, yang merupakan himpunan bagian $T$. Untuk menggitung peluang nisbi terjadinya $B$ terhadap ruang $A$ maka perlu terlebih dahulu ditentukan bobot baru bagi unsur $A$ yang sebanding dengan bobot semula sedemikian rupa sehingga jumlahnya 1. Misalkanlah $b$ bobot baru untuk bilangan ganjil dalam $A$ dan $2b$ untuk bilangan genap, maka $2b+b+2b=1$ atau $b=1/5$. Nisbi terhadap ruang $A$, $B$, hanya mengandung unsur 4. Bila kejadian ini dinyatakan dengan lambang $B|A$ maka $B|A={4}$, jadi $$P(B|A)=\frac{2}{5}$$ Contoh ini memperlihatkan bahwa suatu kejadian dapat mempunyai peluang yang berlainan bila dipandang nisbi terhadap ruang sampel yang berlainan. Dapat pula ditulis:

$P(A \cap B)$ dan $P(A)$ diperoleh dari ruang sampel $T$ semula. Dengan perkataan lain, peluang bersyarat nisbi terhadap himpunan bagian $A$ dari $T$ dapat dihitung langsung dari peluang yang dikaitkan pada unsur ruang sampel $T$ semula.

Sebagai contoh selanjutnya, misalkan ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut:

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya keseluruh negeri. Kita ingin meneliti kejadian berikut:
$M=$ lelaki yang terpilih,
$E=$ orang yang terpilih dalam status bekerja.
Dengan menggunakan ruang sampel $E$ yang diperkecil diperoleh:
$$P(M|E)=\frac{460}{600}=\frac{23}{30}$$
Misalkan $n(A)$ menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan $A$. Dapat ditulis:

$P(E \cap M)$ dan $P(E)$ diperoleh dari ruang sampel semula $T$. Untuk memeriksa hasil ini, perhatikan bahwa: $$P(E)=\frac{600}{900}=\frac{2}{3}$$ dan $$P(M|E)=\frac{23/45}{2/3}=\frac{23}{30}$$ seperti hasil sebelumnya.

Contoh:

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu $P(B)=0,83$; peluang sampai tepat waktu $P(S)=0,82$ serta peluang berangkat dan sampai tepat waktu $P(B \cap S)=0,78$. Cari peluang bahwa:
a). Pesawat sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu.
b). Pesawat berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab:
a). Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu: $$P(S|B)=\frac{P(B \cap S)}{P(B)}$$ $$=\frac{0,78}{0,83}=0,94$$ b). Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu: $$P(B|S)=\frac{P(B \cap S)}{P(S)}$$ $$=\frac{0,78}{0,82}=0,95$$
Demikianlah postingan tentang Peluang Bersyarat. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.