Pembuktian Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan sinus dan cosinus merupakan rumusan trigonometri yang diperoleh dari bangun datar segitiga. Pada postingan ini akan kita bahas dari mana asal rumus ini. Sebelumnya akan saya tuliskan rumus aturan sinus dan cosinus sebagai berikut:
Rumus Aturan Sinus:
Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan sisi dihadapan sudut $A,~B,$ dan $C$ berturut-turut adalah $a,~b$, dan $c$ maka berlaku:
$$\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\text{sin}B}=\frac{c}{\text{sin}C}$$
Rumus Aturan Cosinus:
Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan sisi dihadapan sudut $A,~B,$ dan $C$ berturut-turut adalah $a,~b$, dan $c$ maka berlaku:
$$a^2=b^2+c^2-2.b.c.~\text{cos}A$$ $$b^2=a^2+c^2-2.a.c.~\text{cos}B$$ $$c^2=a^2+b^2-2.a.b.~\text{cos}C$$
Rumus aturan sinus dan cosinus itu sangat mudah diingat karena bentuknya yang memang mudah diingat. Sekarang bisakah anda membuktikan kebenaran atau dasar dari rumus itu?. Memang rahasia dari bangun datar segitiga ini sangat banyak salah satunya rumus dasar Pythagoras yang pertama muncul sangatlah terkenal pada zamannya. Untuk membuktikan aturan sinus dan cosinus maka para pembaca harus mengingat kembali definisi rumus sinus dan cosinus itu sendiri.

Ya, tentunya para pembaca masih ingat bahwa definisi dari rumus sinus dan cosinus itu asalnya dari segitiga siku-siku, $$\text{sinus}=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$$ dan $$\text{cosinus}=\frac{\text{sisi siku}}{\text{sisi miring}}$$
Sekarang kita akan sedikit berimajinasi. Pertama kita akan membuktikan kebenaran aturan sinus sebagai berikut:
Pada segitiga $ABC$ kita buat garis tinggi $~t~$ yang tegak lurus sisi $AB$ maka $\displaystyle \text{sin}~A=\frac{t}{b}$ dan $\displaystyle \text{sin}~B=\frac{t}{a}$ yang jika kita satukan dengan substitusi $~t~$ maka akan kita peroleh: $$\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\text{sin}B}$$ lalu bagaimana dengan sudut $C$?, untuk sudut $C$ kita buat dengan hal yang sama yakni kita pasangkan dengan sudut $A$ dan $B$ sehingga semua titik sudut saling berhubungan dalam persamaan dan jelas bahwa kita sudah membuktikan kebenaran aturan sinus.

Sekarang kita akan membuktikan aturan cosinus. Buatlah garis tinggi seperti pada pembuktian aturan sinus. Kita ambil titik sudut $A$ sehingga jelas bahwa $\displaystyle \text{cos}~A=\frac{\sqrt{b^2-t^2}}{b}$. Sekarang jika para pembaca mencari rumus $t$ maka akan diperoleh $\displaystyle \text{cos}~A=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}$ yang menghasilkan aturan cosinus. Dalam membuktikan aturan cosinus ini memakai bantuan rumus Pythagoras.
Itulah cara pembuktian rumus aturan sinus dan cosinus. Banyak manfaat dari rumus ini dalam perhitungan arsitekstur bidang segitiga. Demikianlah postingan ini, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.