Penerapan Distribusi Normal

Loading...
Penerapan Distribusi Normal
Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada postingan ini akan disajikan postingan mengenai penerapan distribusi normal dalam masalah nyata.
Banyak masalah yang beberapa diantaranya dapat memakai jasa distribusi normal yang akan dibicaran dalam contoh berikut:

Contoh 1:
Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3 tahun dengan simpangan baku 6 bulan. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu baterai tertentu akan berumur kurang dari 2,3 tahun.
Jawab:
Mula-mula buatlah kurva normal seperti gambar berikut:

Gambar di atas menunjukkan distribusi umur baterai yang diberikan dan luas daerah yang ditanyakan. Untuk menghitung $P(X < 2,3)$, hitunglah luas daerah diarsir pada gambar tersebut. Ini sama saja dengan menghitung luas daerah sebelah kiri nilai $z$ padanannya. Jadi diperoleh: $$z=\frac{2,3-3}{0,5}=-1,4$$ dan kemudian dengan menggunakan tabel baku maka diperoleh $$P(X < 2,3)=P(Z < -1,4)$$ $$=0,0808.$$
Contoh 2:
Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam.
Jawab:
Distribusi umur bola lampu dilukiskan pada gambar berikut:

Nilai $z$ yang berpadanan dengan $x_1=778$ dan $x_2=834$ adalah: $$z_1=\frac{778-800}{40}=-0,55$$ dan $$z_2=\frac{834-800}{40}=0,85$$ Jadi:

$P(778 < X < 834)=P(-0,55 < Z < 0,85)$
$=P(Z < 0,85) - P(Z < -0,55)$
$=0,8033-0,2912=0,5111$.


Contoh 3:
Dalam suatu proses industri, diameter suatu laher merupakan bagian yang penting. Pembeli menetapkan ketentuan mengenai diameternya, yakni sebesar 3,0 $\pm$ 0,01 cm. Maksudnya ialah bahwa tidak ada laher yang ukurannya diluar ketentuan ini akan diterima. Diketahui bahwa dalam proses pembuatan diameter laher tersebut berdistribusi normal dengan rataan 3,0 dan simpangan baku $\sigma =0,005$. Berapa banyak rata-rata laher yang akan terbuang?
Jawab:
Distribusi diameter diperlihatkan dalam gambar berikut:

Nilai yang berpadanan dengan batas ketentuan adalah $x_1=2,99$ dan $x_2=3,01$.
Nilai $z$ padanannya adalah: $$z_1=\frac{2,99-3,0}{0,005}=-2,0$$ $$z_2=\frac{3,01-3,00}{0,005}=2,0$$ Jadi:

$P(2,99 < X < 3,01)=P(-2,0 < Z < 2,0)$.

Dengan menggunakan tabel normal diperoleh: $P(Z < -2,0)=0,0228$. Karena distribusi normal setangkup maka $P(-2,0 < Z < 2,0) = 2(0,0228)$ $=0,0456$. Kesimpulannya, dapat diharapkan bahwa rata-rata 4,56% dari laher yang diproduksi tidak akan terpakai.

Contoh 4:
Suatu pengukur dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya tidak memenuhi ketentuan 1,50 $\pm d$. Diketahui bahwa pengukuran tersebut berdistribusi normal dengan rataan 1,50 dan simpangan baku 0,2. Tentukanlah nilai $d$ sehingga ketentuan tersebut ‘mencakup’ 95% dari seluruh pengukuran.
Jawab:
Dari tabel normal baku maka diperoleh: $P(-1,96 < Z < 1,96)$ = 0,95.
Jadi: $$1,96=\frac{(1,50+d)-1,50}{0,2}$$ sehingga diperoleh $d=(0,2)(1,96)=0,392$.
Gambar ketentuan di atas diperlihatkan seperti berikut:


Contoh 5:
Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan simpangan baku 2 ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapa persentase alat yang mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?.
Jawab:
Persentase diperoleh bila frekuensi nisbi dikalikan dengan 100%. Karena frekuensi nisbi untuk suatu selang sama dengan peluang jatuh dalam selang tersebut, maka harus dicari luas daerah di sebelah kanan $x=43$ dalam gambar berikut:

Ini dikerjakan dengan mentransformasikan $x=43$ menjadi nilai $z$ padanannya, sehingga diperoleh luas disebelah kiri $z$, kemudian mengurangkan luas ini dengan 1. Jadi diperoleh: $$z=\frac{43-40}{2}=1,5$$ sehingga $P(X>43)=P(Z>1,5)$
$=1-P(Z < 1,5)$
$=1-0,9332$
$=0,0668$.
Karena itu, 6,68% dari alat akan mempunyai tahanan melebihi 43 ohm.

Contoh 6:
Dalam contoh 5 di atas, hitunglah persentase tahanan yang melebihi 43 ohm bila tahanan diukur dengan membulatkan ke bilangan bulat terdekat.
Jawab:
Soal ini berbeda dengan contoh 5 di atas dalam hal bahwa sekarang semua alat yang bertahanan melebihi 42,5 tapi kurang dari 43,5 ohm akan ditulis 43 ohm. Sesungguhnya disini distribusi diskret dihampiri dengan distribusi normal kontinu. Luas yang dicari adalah daerah yang diarsir dengan nilai $\displaystyle z=\frac{43,5-40}{2}=1,75$, perhatikan gambar berikut:

sehingga $$P(X >43,5)=P(Z > 1,75)$$ $$=1-P(Z < 1,75)$$ $$=1-0,9599$$ $$=0,0401$$ Jadi 4,01% dari tahanan melampaui 43 ohm bila diukur sampai nilai ohm terdekat (bilangan bulat terdekat). Selisih 6,68%$-$4,01%$=$2,67% antara jawaban ini dan contoh 5 menggambarkan semua alat yang bertahanan lebih besar dari 43 ohm tapi lebih kecil dari 43,5 ohm sekarang ditulis sebagai 43 ohm.

Contoh 7:
Nilai rata-rata dalam suatu ujian adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% dari pengikut ujian mendapat nilai A, dan nilai ujian dibuat mengikuti distribusi normal, berapakah kemungkinan nilai A yang terkecil dan nilai B tertinggi?
Jawab:
Pada contoh ini kita mulai dengan pengetahuan besarnya peluang, cari nilai $z$, dan kemudian tentukan $x$ dari rumus $x=\sigma.z+\mu$. Daerah seluas 0,12, sesuai dengan proporsi pengikut ujian yang mendapat nilai A ditunjukkan pada daerah diarsir dalam gambar berikut:
Diperlukan nilai $Z$ sehingga luas disebelah kanannya 0,12 jadi disebelah kirinya 0,88. Dari tabel normal baku diperoleh $P(Z < 1,175)=0,88$, jadi $z=1,175$. Dengan demikian $x=$ (7)(1,175) + 74 = 82,225.
Jadi nilai A terkecil 83 dan nilai B terbesar 82.

Soal Latihan:
1. Roti tawar yang dijual ke toko-toko oleh tukang roti mempunyai panjang rata-rata 30 cm dan simpangan baku 2 cm. Misalnya panjang roti berdistribusi normal, maka berapa persenkah roti yang
a. panjangnya lebih dari 31,7 cm?
b. panjangnya antara 29,3 dan 33,5 cm?
c. panjangnya kurang dari 25,5 cm?

2. Umur rata-rata sejenis mesin adalah 10 tahun, dengan simpangan baku 2 tahun. Pabriknya mengganti dengan gratis semua mesin yang rusak selama masa garansi. Bila pabrik tersebut hanya mengganti 3% dari mesin yang rusak, maka berapakah lama masa garansi yang seharusnya ditawarkan?. (Misalkanlah bahwa umur mesin berdistribusi normal).

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *