Loading...
Persamaan Diophantine

Selamat datang pengunjung semuanya..
Pada postingan ini akan dibahas materi kuliah lingkup Teori Bilangan dengan judul Persamaan Diophantine.

Persamaan diophantine ini akar penyelesaiannya adalah bilangan bulat. Biasanya persamaan terdiri atas dua variabel. Sebelum kita mencari akar penyelesaiannya, maka terlebih dahulu kita harus memahami tentang GCD. Apa itu GCD?, GCD adalah pembagi terbesar dari dua bilangan. GCD sama halnya dengan FPB, perbedaannya hanya pada jika pembagi terbesar 1 ini berlaku pada GCD sedangkan FPB tidak ada yang hasilnya 1. Untuk mencari GCD maka perhatikan contoh berikut:
Tentukan GCD (15, 28)!
Jawab:
Secara sederhana, pembagi terbesarnya adalah 1. Perhatikan langkah berikut:
$28=1.(15)+13$
$15=1.(13)+2$
$13=6.(2)+1$
Sehingga kita peroleh konstanta akhirnya adalah 1.



Dari persoalan GCD di atas, akan menghasilkan suatu persoalan yang disebut persamaan diophantine.
Contoh:
Tentukan semua bilangan bulat $n$ yang memenuhi persamaan $15m+28n=100$.
Jawab:
Dari langkah yang sudah kita bahas pada soal GCD di atas, maka kita ganti bilangan dalam kurung pada persamaan terakhir dengan persamaan di atasnya, yakni: $2=15-1.(13)$. Sehingga:
$13=6.[15-1.(13)]+1$
$1.(13)=6.(15)-6.(13)+1$
$7.(13)-6.(15)=1$
Kemudian 13 kita ganti dengan persamaan ke tiga dari bawah yakni $13=28-1.(15)$ sehingga diperoleh:
$7.[28-1.(15)]-6.(15)=1$
$-13.(15)+7.(28)=1$ kedua ruas kita kali 100 diperoleh:
$15.(-1300)+28.(700)=100$.
maka $n=$ 700 (mod 15).
atau dengan bentuk persamaan maka $n=15k+700$ dimana $k$ adalah bilangan bulat.

Demikianlah penjelasan tentang persamaan diophantine. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.