Loading...
Perkalian dan Perpangkatan Suku Aljabar
Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id. Pada pertemuan ini akan dibahas mengenai perkalian dan perpangkatan suku banyak. Materi ini adalah materi matematika kelas VIII. Berikut ini pembahasan materinya:

1. Perkalian Suku Dua

Dikelas VII telah dipelajari bahwa operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan distributif perkalian terhadap pengurangan. Coba kamu tuliskan kedua sifat distributif tersebut dalam bentuk aljabar. Jika ditulis dalam bentuk aljabar, kedua sifat distributif berturut-turut adalah sebagai berikut:
(1). $p(x+b)=px+pb$
(2). $p(x-b)=px-pb$
Amatilah bentuk (1), ruas kiri $p(x+b)$ adalah perkalian dua faktor, yaitu $p$ dan $(x+b)$. Ruas kanan adalah suatu penjumlahan yakni $px+pb$.
Demikian juga dengan bentuk (2), ruas kanan diperoleh dengan mengurangi $px$ oleh $pb$.

Contoh Soal:
Jabarkan perkalian suku dua berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana.
a. $3(x+5)$
b. $5(x-4)-2(x+7)$
Penyelesaian:

a. $3(x+5)=3x+15$
b. $5(x-4)-2(x+7)=5x-20-2x-14= 3x-34$.

Sifat distributif dapat juga digunakan untuk menjabarkan perkalian suku dua dengan suku dua sebagai berikut:

$(x+a)(x+b)=x(x+b)+a(x+b)$
$\quad = x^2+bx+ax+ab$
$\quad = x^2+(a+b)x+ab$

Dengan penalaran yang sama, coba kamu tunjukkan bahwa:

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$
$(x-a)(x+b)=x^2+(b-a)x-ab$
$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$


Amatilah perkalian suku dua tersebut. Kemudian, buatlah kesimpulan dengan kata-katamu sendiri tentang hal tersebut.
Contoh Soal:
Jabarkan perkalian suku dua berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana.
a. $(x+3)(x+2)$
b. $(x-5)(x-2)$
Penyelesaian:

a. $(x+3)(x+2)=x^2+(3+2)x+2(3)=x^2+5x+6$.
b. $(x-5)(x-2)=x^2-(5+2)x+5(2)=x^2-7x+10$.


2. Perkalian Suku Tiga

Dengan penalaran yang sama seperti menjabarkan perkalian suku dua, kamu dapat menjabarkan bentuk umum perkalian suku tiga sebagai berikut:

$p(x^2+x+c)=px^2+px+pc$

Contoh Soal:
Jabarkan perkalian suku dua dengan suku tiga berikut:
a. $(x+3)(x^2+2x+1)$
b. $(x-5)(x^2+5x+25)$
Penyelesaian:

a. $(x+3)(x^2+2x+1)=x(x^2+2x+1)+3(x^2+2x+1)$
$\quad =x^3+2x^2+x+3x^2+6x+3$
$\quad =x^3+5x^2+7x+3$
b. $(x-5)(x^2+5x+25)=x(x^2+5x+25)-5(x^2+5x+25)$
$\quad =x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125$
$\quad =x^3-125$

3. Bentuk Kuadrat Suku Dua

Penjabaran kuadrat (pangkat dua) dari suatu suku dua juga memakai konsep perkalian distributif. Perhatikan proses penjabarannya berikut:
$$(x+a)^2=(x+a)(x+a)$$ $$=x(x+a)+a(x+a)$$ $$=x^2+2ax+a^2$$

Coba kalian cari penjabaran dari $(x-m)^2$. Sekarang perhatikan contoh berikut:
Contoh Soal:
Jabarkanlah:
a. $(-x+5)^2$
b. $(2x-3)^2$
Penyelesaian:

a. $(-x+5)^2=(-x+5)(-x+5)$
$\quad =-x(-x+5)+5(-x+5)$
$\quad =x^2-5x-5x+25$
$\quad =x^2-10x+25$
b. $(2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)$
$\quad =2x(2x-3)-3(2x-3)$
$\quad =4x^2-6x-6x+9$
$\quad =4x^2-12x+9$


4. Bentuk Kuadrat Suku Tiga

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada bagian 3 di atas, kamu dapat menemukan rumus kuadrat suku tiga sebagai berikut:

$(a+b+c)^2=(a+(b+c))^2$
$=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2$
$=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2$
$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$.
Jadi:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$.

Contoh Soal:
Penjabaran bentuk $(x^2+x+3)^2$ adalah ….
Penyelesaian:

$(x^3+x+3)^2=(x^3)^2+(x)^2+(3)^2+2((x^3)(x)+(x^3)(3)+x(3)$.
$=x^6+x^2+9+2(x^4+3x^3+3x)$.
$=x^6+x^2+9+2x^4+6x^3+6x$.
$=x^6+2x^4+6x^3+x^2+6x+9$.

5. Pangkat Tiga Dari Suku Dua

Konsep-konsep yang telah dipelajari di atas, dapat digunakan untuk menjabarkan pangkat tiga dari suatu suku dua. Rumus akhirnya adalah sebagai berikut: (coba buktikan sendiri)

$(x+a)^3=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3$.

Contoh Soal:
Jabarkan bentuk-bentuk berikut:
a. $(x+2)^3$
b. $(x-4)^3$
c. $(2x+3y)^3$
Penyelesaian:


a. $(x+2)^3=x^3+3(2)x^2+3(2^2)x+2^3$.
$=x^3+6x^2+12x+8$.
b. $(x-4)^3=x^3+3(-4)x^2+3(-4)^2x+(-4)^3$.
$=x^3-12x^3+48x-64$.
c. $(2x+3y)^3=(2x)^3+3(3y)(2x)^2+3(3y)^2(2x)+(3y)^3$.
$=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$.

Demikianlah postingan tentang perkalian dan perpangkatan suku banyak. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.