Persamaan Bidang Rata dan Vektor Normal Bidang Rata

Loading...
Persamaan Bidang Rata dan Vektor Normal
Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada postingan ini akan disajikan tentang persamaan bidang rata dan vektor normal.

Persamaan Parameter Bidang Rata

Bila terdapat tiga buah titik yang tak kolinear (tidak segaris) pada suatu bidang, maka ketiga titik tersebut menentukan suatu bidang rata.
Misalkan ketiga titik itu $P$, $Q$, dan $R$ serta $H$ nama bidang yang terbentuk. Kita tuliskan
$H$ : $P(x_1,~y_1,~z_1)$, $Q(x_2,~y_2,~z_2)$ dan $R(x_3,~y_3,~z_3)$.
maka:
$PQ=[x_2-x_1,~y_2-y_1,~z_2-z_1]$
$PR=[x_3-x_1,~y_3-y_1,~z_3-z_1]$
Untuk setiap titik sembarang $T(x,~y,~z)$ pada bidang rata $H$ berlaku:

$PT=\lambda.PQ+\mu.PR~(-\infty < \lambda < \infty,~-\infty < \mu < \infty)$.

Kemudian perhatikan gambar berikut:

Tampak bahwa $OT-OP=PT$ atau

$(1)…[x,~y,~z]=[x_1,~y_1,~z_1]+\lambda[x_2-x_1,~y_2-y_1,~z_2-z_1]+\mu[x_3-x_1,~y_3-y_1,~z_3-z_1]$

Persamaan (1) adalah persamaan bentuk vektor bidang rata yang melalui tiga buah titik. Kedua vektor $PQ$ dan $PR$ disebut juga vektor-vektor arah bidang.

Suatu bidang yang melalui titik $P(x_1,~y_1,~z_1)$ dan diketahui vektor-vektor arahnya $\vec{a}=[x_a,~y_a,~z_a]$ dan $\vec{b}=[x_b,~y_b,~z_b]$ mempunyai persamaan dalam bentuk vektor:

$[x,~y,~z]=[x_1,~y_1,~z_1]+\lambda[x_a,~y_a,~z_a]+\mu[x_b,~y_b,~z_b]$.
dengan $(-\infty < \lambda < \infty)$
atau:
$x=x_1+\lambda.x_a+\mu.x_b$
$y=y_1+\lambda.y_a+\mu.y_b$
$z=z_1+\lambda.z_a+\mu.z_b$
yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata.

Contoh Soal:
Tentukan persamaan bentuk vektor bidang rata yang melalui (1, 2, 2), (2, 4, 5) dan (1, 2, 6), serta tentukan persamaan parameternya.
Jawab:

$[x,~y,~z]=[1,~2,~2]+\lambda[2-1,~4-2,~5-2]+\mu[1-1,~2-2,~6-2]$
atau $[x,~y,~z]=[1,~2,~2]+\lambda[1,~2,~3]+\mu[0,~0,~4]$
Jadi persamaan parameternya:
$x=1+\lambda,~~y=2+2\mu,~~\text{dan}~z=2+3\lambda+4\mu$.

Vektor Normal Bidang Rata

Vektor normal bidang rata dapat dicari dengan mengalikan silang dua buah vektor pada bidang bidang rata itu. Kedua vektor ini titik asalnya sama yang membentuk sudut apit dengan sudut apit tidak nol dan tidak lurus dengan kata lain terdapat tiga titik yang tak kolinear. Misalkan kedua vektor itu $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$ maka vektor normalnya adalah $n=\vec{AB}\text{ X }\vec{AC}$.

Persamaan Umum Bidang Rata

Persamaan bidang rata dapat pula ditulis dalam bentuk lain, yakni:
$$A(x-p)+B(y-q)+C(z-r)=0$$ dengan vektor normal
$n=[A,~B,~C]$ dan
$(p,~q,~r)$ adalah titik tumpu kedua vektor pembentuk vektor normal.


Contoh Soal:
Diketahui bidang rata yang melalui titik-titik (1, 2, 2), (2, 4, 5) dan (1, 2, 6). Tentukan persamaan bidang rata itu.
Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik tumpunya (bebas) misalnya (1, 2, 2) adalah titik tumpunya, maka dua vektor yang terbentuk adalah [1, 2, 3] dan [0, 0, 4] sehingga vektor normalnya adalah: [1, 2, 3] X [0, 0, 4] = [8, $-$4, 0].
Jadi persamaan bidang ratanya adalah:
$$8(x-1)-4(y-2)+0=0$$ $$2x-y=0$$
Demikianlah postingan persamaan bidang rata dan vektor normal bidang rata. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *