POLINOMIAL (Pengertian, Operasi, dan Teorema Dasar)

Loading...
Polinomial (Pengertian, Operasi, dan Teorema Dasar

Selamat datang pengunjung blog mathematic.my.id,,
Pada postingan ini akan diulas mengenai polinomial. Dalam memahami materi ini maka sebelumnya anda harus mengetahui definisi dari polinomial.

Definisi Polinomial:

Diberikan suatu polinomial:
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$
Dimana:
$n$ adalah bilangan asli.
$a_n$ adalah bilangan real.


Kemudian ada yang disebut dengan derajat polinomial. Pengertian dari derajat polinomial itu sendiri adalah pangkat terbesar. Sebagai contoh $P(x)=x^2+1$ merupakan polinom berderajat 2, penulisan derajar disimbolkan dengan deg. Mungkin anda sudah jelas mengenai definisi atau pengertian dari polinomial.
Sekarang kita akan mengoperasikan polinomial dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Penjumlahan Polinomial

Dalam penjumlahan polinomial yang perlu kita lihat adalah suku yang sejenis, artinya jumlahkanlah koefisien yang pangkat variabelnya sama. Sebagai contoh:
Contoh Penjumlahan Polinomial:
Tentukan penjumlahan dari:
$(-3x^5+6x^3-10x-8)+(-x^3-x^2+2x-7)$
Jawab:
$=-3x^5+(6+(-1))x^3+(-x^2)+(-10+2)x-8+-7$
$=-3x^5+5x^3-x^2-8x-15$.

Pengurangan Polinomial

Dalam pengurangan polinomial ini juga melihat suku yang sejenis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh Pengurangan Polinomial:
Tentukan penjumlahan dari:
$(-3x^5+6x^3-10x-8)-(-x^3-x^2+2x-7)$
Jawab:
$=-3x^5+(6-(-1))x^3-(-x^2)+(-10-2)x-8-(-7)$
$=-3x^5+7x^3+x^2-12x-1$.

Perkalian Polinomial

Kemudian untuk perkalian polinomial ini gunakan cara perkalian distributif yang sudah lama dipelajari. Perhatikan contoh perkalian polinomial berikut:
Contoh Perkalian Polinomial:
Anda dapat menggeser ke samping dan ke bawah.
Tentukan perkalian polinomial berikut:
$(-3x^5+6x^3-10x-8)(-x^3-x^2+2x-7)$
Jawab:
$=(-3x^5)(-x^3)+(-3x^5)(-x^2)+(-3x^5)(2x)+(-3x^5)(-7)$
$+(6x^3)(-x^3)+(6x^3)(-x^2)+(6x^3)(2x)+(6x^3)(-7)$
$+(-10x)(-x^3)+(-10x)(-x^2)+(-10x)(2x)+(-10x)(-7)$
$+(-8)(-x^3)+(-8)(-x^2)+(-8)(2x)+(-8)(-7)$
$=3x^8+3x^7-6x^6+21x^5$
$-6x^6-6x^5+12x^4-42x^3$
$+10x^4+10x^3-20x^2+70x$
$+8x^3+8x^2-16x+56$
$=3x^8+3x^7-12x^6+15x^5+22x^4-24x^3-12x^2+54x+56$.


Pembagian Polinomial

Nah setelah anda mengerti proses operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada polinomial, maka sekarang kita ke proses pembagian polinomial. Pada pembagian polinomial ini prosesnya sama seperti pembagian biasa. Sebagai contoh $7:2$ yang secara aljabar akan menghasilkan $7=2(3)+1$ dimana 7 adalah yang dibagi, 2 adalah pembagi, 3 adalah hasil bagi, dan 1 adalah sisa pembagian. Diberikan bentuk proses pembagian polinomial sebagai berikut:
$$N(x)=P(x).H(x)+S(x)$$ dimana:
$N(x)$ adalah polinom yang dibagi.
$P(x)$ adalah polinom pembagi.
$H(x)$ adalah polinom hasil.
$S(x)$ adalah polinom sisa.

Cara membagikan polinomial ada dua cara yaitu cara pembagian biasa dan cara pembagian horner. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut ini:
Contoh Pembagian Polinomial:
Tentukan sisa pembagian polinomial $2x^5+3x^4+3x^3-2x-1$ yang dibagi oleh polinom $x^3-2x^2-x+5$ dengan cara pembagian biasa.
Jawab:
Jadi sisa pembagiannya adalah: $2x^2+x-21$.

Untuk pembagian cara horner biasanya khusus pembagi polinom berderajat satu. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Tentukan hasil bagi ($H(x)$) dari $f(x)=2x^4+3x^2-5x-3$ yang dibagi oleh $3x-2$.
Jawab:
Nilai nol dari $3x-2$ diperoleh dari $3x-2=0$ sehingga $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ yang mana nilai $x$ ini diletakkan di sudut kiri atas. Kemudian perhatikan proses pembagian horner berikut:
Sisa pembagiannya sendiri terletak di sudut bawah kanan.

Teorema Sisa

Teorema sisa ini khusus untuk pembagi linear (polinom berderajat satu). Caranya sangat mudah, kita cari nilai $x$ dari hasil pembuat nol, kemudian nilai $x$ yang didapat kita substitusikan ke dalam polinom yang dibagi.
Contoh:
Tentukan sisa pembagian polinom $x^4-x+3$ oleh 2x+4.
Jawab:
$2x+4=0$
$x=-2$
Sisa pembagian = $(-2)^4-(-2)+3$ = 21.

Teorema Faktor

Teorema faktor ada beberapa bentuk yaitu:
1. Jika akar $x$ dari polinomial $P(x)=0$ adalah real, maka terdapat suatu faktor linear $(x-k)$.
2. Rumus:

$\displaystyle \frac{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}.a+x^{n-3}.a^2+…+x.a^{n-2}+a^{n-1}$.

3. Rumus:

$\displaystyle \frac{x^{2n}-a^{2n}}{x+a}=x^{2n-1}-x^{2n-2}.a+x^{2n-3}.a^2-…-x.a^{2n-2}+a^{2n-1}$.

4. Rumus:

$\displaystyle \frac{x^{2n+1}+a^{2n+1}}{x+a}=x^{2n}-x^{2n-1}.a+x^{2n-2}.a^2-…-x.a^{2n-1}+a^{2n}$.

Demikianlah postingan tentang polinomial (pengertian, operasi, dan teorema dasar). Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.

Leave a comment

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *