SOAL DAN PEMBAHASAN NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET

1. Diketahui $$\sum^{k}_{n =1}(2n-1)=3481$$ Nilai $~k=….$
A. $41~~~~~~$ D. 59
B. 49$~~~~~~$ E. 61
C. 51
Penyelesaian:
Jawaban D.
Ingat rumus:
$$1.~\sum^{h}_{n=r} k=k.(h-r+1)$$ $$2.~\sum^{c}_{n=j} a.n=a.\sum^{c}_{n=j} n$$ $$3.~\sum^{n}_{n=1}n=\frac{n^2+n}{2}$$ Dari rumus di atas, maka kita peroleh:
$$\sum^{k}_{n =1}(2n-1)$$ $$=2.\left(\frac{k^2+k}{2}\right)-k=3481$$ $$k^2=3481$$ $$k=\sqrt{3481}=59$$

2. Diketahui bahwa $$\sum^{x}_{n=3}(6n+5)=352$$ Nilai $~x=…. $
A. $10~~~~~~$ D. 13
B. $11~~~~~~$ E. 14
C. 12
Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa $$\sum^{x}_{n=3}(6n+5)=\sum^{x}_{n=1}(6n+5)-11-17$$ ($-11$ dan $-17$ artinya pengurangan suku ke-1 dan suku ke-2, agar tepat dari suku ke-3). $$=6.\frac{x^2+x}{2}+5x-28$$ $$3x^2+8x-28=352$$ $$3x^2+8x=380$$ Dari bentuk terakhir ini, maka nilai $~x~$ yang tepat adalah 10.

3. Diketahui bahwa $$\sum^{n}_{k=5} k =x$$ dan $$\sum^{n}_{k=5} k^2 =y $$ Nilai dari $$\sum^{n}_{k=5}(2k+1)^2=…$$
A. $4(x^2+y)+1$
B. $4(x^2+y)-n+4$
C. $4(x+y)+n-4$
D. $4(x+y)+n+4$
E. $4(x+y)+1$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Terlebih dahulu kita selesaikan $(2k+1)^2$, yakni $$(2k+1)^2=4k^2+4k+1$$ Kita sudah tahu sifat-sifat notasi sigma pada contoh 1, jadi: $$\sum^{n}_{k=5}(2k+1)^2$$ $$=4(y+x)+n-4$$

4. Suatu barisan aritmetika, dengan suku ke-n disimbolkan dengan $U_n$. Diketahui $U_7=-2$ dan $U_{10}=6$. Suku pertamanya adalah ….
A. $-14~~~~~~$ D. $-17$
B. $-15~~~~~~$ E. $-18$
C. $-16$
Penyelesaian:
Jawaban E.
ingat bahwa rumus $U_n$ barisan aritmetika adalah: $$U_n=a+(n-1).b$$ dengan $~a~$ adalah suku pertama.
Sehingga diperoleh:
$a+6b=-2$
$a+9b=6$
Coba kurangkan kedua persamaan itu, maka diperoleh: $$3b=8$$ Jadi, $$a=-2-2(8)=-18$$

5. Diketahui pola rumus suatu deret aritmetika $S_n=n^2-2n$. Rumus pola barisan aritmetika itu adalah ….
A. $U_n=2n-3$
B. $U_n=2n+3$
C. $U_n=2n-4$
D. $U_n=2n+4$
E. $U_n=2n-5$
Penyelesaian:
Jawaban A.
ingat hubungan $U_n$ dan $S_n$ sebagai berikut: $$U_n=S_n-S_{n-1}$$ dari rumus di atas, maka diperoleh: $$U_n=n^2-2n-[(n-1)^2-2(n-1)]$$ $$U_n=2n-3$$

6. Dua buah bilangan 4 dan 20 akan disisipkan tujuh buah bilangan di antara dua bilangan itu, sehingga membentuk barisan aritmetika. Nilai suku ke-3 = ….
A. $6~~~~~~$ D. 9
B. $7~~~~~~$ E. 10
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban C.
Karena disisipkan 7 buah bilangan maka semua bilangannya ada 9 buah, sehingga $~n=9.~$ Perhatikan bahwa $a=4$ dan $U_9=20$, jadi: $$20=4+8b$$ $$b=2$$ $$U_3=4+2(2)=8$$

7. Suatu barisan geometri, diketahui bahwa $U_5=32$ dan $U_2=4$, maka $U_7=….$
A. $108~~~~~~$ D. 138
B. $118~~~~~~$ E. 148
C. 128
Penyelesaian:
Jawaban C.
Rumus $U_n$ barisan geometri adalah: $$U_n=a.r^{n-1}$$ maka:
$U_5=a.r^4=32$
$U_2=a.r=4$
Kita bagikan kedua persamaan di atas, maka diperoleh:
$r^3=8~~\to r=2$,
lalu masukkan ke $U_2$ maka $a=2$.
Jadi, $U_7=2.2^{6}=128$

8. Diketahui dua buah bilangan yakni 3 dan 243. Akan disisipkan tiga buah bilangan di antara dua bilangan itu, sehingga membentuk barisan geometri naik. Rasio barisan geometri yang terbentuk itu adalah ….
A. $3~~~~~~$ D. 81
B. $9~~~~~~$ E. 100
C. 27
Penyelesaian:
Jawaban A.
Karena disisipkan 3 buah bilangan maka semua bilangan ada 5 buah. Jadi, $$U_7=3.r^4=243$$ $$r^4=81~~\to r=3$$

9. Perhatikan barisan geometri naik berikut: $$^xlog(4),~^xlog(8),~….$$ Diketahui bahwa rasio barisan itu adalah 3/2 dan $U_4=27/16$. Nilai $~x=….$
A. $2~~~~~~$ D. 16
B. $4~~~~~~$ E. 32
C. 8
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$U_4=[^xlog(4)].\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{16}$$ $$^xlog(4)=\frac{27(8)}{16(27)}$$ $$^xlog(4)=\frac{1}{2}$$ $$x=16$$

10. Diketahui jumlah 6 suku pertama deret aritmetika naik sama dengan jumlah 4 suku pertama deret geometri naik. Jika suku pertama pada kedua barisan itu sama dengan satu, dan rasio barisan geometri naik itu sama dengan 2, maka beda barisan aritmetika naik itu adalah ….
A. $7/5~~~~~~$ D. 4/5
B. $6/5~~~~~~$ E. 3/5
C. 1
Penyelesaian:
Jawaban E.
ingat rumus $S_n$ deret aritmetika dan geometri naik.
Rumus $S_n$ deret aritmetika naik: $$S_n=\frac{n}{2} (a+U_n)$$
Rumus $S_n$ deret geometri naik: $$S_n=\frac{a.(r^n-1)}{r-1}$$
Sehingga: $$S_6=S_4$$ $$3(1+U_6)=15$$ $$U_6=4$$ $$1+5b=4$$ $$b=\frac{3}{5}$$

11. Jika diketahui suku barisan aritmetika bersifat $~U_{k+2}=U_k+p,~$ dengan $~p \ne 0.~$ Untuk sebarang bilangan asli $~k~$ maka $~U_3+U_5+U_7+…+U_{2n+1}$ = ….
$$A.~\frac{pn^2+2nU_1+pn}{2}$$ $$B.~\frac{n^2+2nU_1+pn}{2}$$ $$C.~\frac{pn^2+2nU_1+p}{2}$$ $$D.~\frac{n^2+2nU_1+p}{2}$$ $$E.~\frac{pn^2+2pnU_1+n}{2}$$ Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa $$U_3=U_1+p$$ $$U_5=U_3+p=U_1+2p$$ $$U_7=U_5+p=U_1+3p$$ $$ …. $$ $$U_{2n+1}=U_1+\frac{(2n+1)-1}{2}p$$ $$U_{2n+1}=U_1+pn$$ Jadi, $$U_3+U_5+U_7+…+U_{2n+1}$$ $$=n.U_1+\frac{n^2+n}{2}p$$ $$=\frac{pn^2+2nU_1+pn}{2}$$

12. Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang tidak habis dibagi 3 adalah ….
A. $1732~~~~~~$ D. 1735
B. $1733~~~~~~$ E. 1736
C. 1734
Penyelesaian:
Jawaban C.
Pertama kita cari jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 (kita variabelkan $C_n$), kemudian kita kurangkan dengan jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yang habis dibagi 3 (kita variabelkan $D_n$).
Jumlah bilangan genap antara 1 dan 101 yaitu:
Sebelumnya cari dulu nilai $n$ atau banyak bilangan itu, $$U_n=a+(n-1)b$$ $$100=2+(n-1).2$$ $$n=50$$ Sehingga: $$C_n=\frac{50}{2}.(2+100)=2550$$
Untuk mencari $D_n$ yakni:
3(2)+3(4)+3(6)+…+3(32) = 3.(2+4+6+…+32)
banyak sukunya = $1+(32-2)/2=16$, maka: $$D_n=3.\frac{16}{2}.(2+32)$$ $$D_n=816$$ Jadi, $C_n-D_n=1734$.

13. Bilangan $^ylog(x-1),~$ $^ylog(x+1),~$ $^ylog(3x-1)$ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka nilai $~x+y~$ adalah ….
A. $2~~~~~~$ D. 5
B. $3~~~~~~$ E. 6
C. 4
Penyelesaian:
Jawaban D.
Anda harus mengingat kembali sifat-sifat logaritma.
Beda barisan itu adalah: $U_3-U_2=U_2-U_1$ atau $2U_2=U_1+U_3$, sehingga: $$^ylog(x+1)^2=^ylog[(x-1)(3x-1)]$$ $$x^2+2x+1=3x^2-4x+1$$ $$2x^2-6x=0$$ $$2x(x-3)=0$$ $$x=0,~~x=3$$ Kita ambil yang memenuhi nilai logaritma, yakni $x=3$. Karena jumlah ketiga bilangan itu adalah 6, maka $$^ylog[(2).(4).(8)]=6$$ $$^ylog(64)=6$$ $$y=2$$ Jadi, $x+y=5$.

14. Jumlah 5 suku pertama deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3, maka hasil kali suku ke-1, ke-2, ke-4, dan ke-5 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ….
A. $-4$ atau 68
B. $-52$ atau 116
C. $-64$ atau 88
D. $-44$ atau 124
E. $-56$ atau 138
Penyelesaian:
Jawaban A.
Diketahui $S_5=20$.
Berdasarkan kalimat ke-2 pada soal di atas, maka:
*$~U_1-U_3=$ $a-(a+2b)=-2b$
*$~U_2-U_3=$ $(a+b)-(a+2b)=-b$
*$~U_4-U_3=$ $(a+3b)-(a+2b)=b$
*$~U_5-U_3=$ $(a+4b)-(a+2b)=2b$
Berarti hasil kalinya adalah:
$(-2b)(-b)(b)(2b)$ = 324
$4b^4=324$
$b^4=81$ $~\to b=\pm 3$.
Karena $S_5=20$ maka $$S_5=\frac{5}{2}(2a+4b)=20$$ $$a+2b=4$$ * Untuk $b=3$ maka $a=-2$
* Untuk $b=-3$ maka $a=10$
Sehingga untuk pasangan $(a,~b)=(-2,~3)$ akan menghasilkan: $$S_8=\frac{8}{2}[2(-2)+7(3)]$$ $$S_8=68$$ dan untuk pasangan $(a,~b)=(10,~-3)$ maka diperoleh: $$S_8=4[2(10)+7(-3)]$$ $$S_8=-4$$ Jadi, jawabannya adalah $-4$ atau 68.

15. Suku ke-3 suatu deret aritmetika adalah 11. Jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9 adalah 134. Suku pertama dan beda deret itu berturut-turut adalah ….
A. 1 dan 3$~~~~~~$ D. 2 dan 4
B. 2 dan 5$~~~~~~$ E. 1 dan 5
C. 1 dan 4
Penyelesaian:
Jawaban E.
Diketahui $U_3=a+2b=11$.
Karena jumlah suku ke-6 sampai ke-9 adalah 134, maka:
$U_6+U_7+U_8+U_9=134$
$(a+5b)+(a+6b)+$ $(a+7b)+(a+8b)=134$
$4a+26b=134$
$4(a+2b)+18b=134$
$4(11)+18b=134$
$b=5$. Kemudian substitusikan $b$ ke $U_3$, sehingga $a=1$. Jadi, $a$ dan $b$ adalah 1 dan 5.

16. Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 5. Diketahui suku ke-10 adalah dua kali suku ke-4. Jumlah enam suku pertama barisan tersebut adalah ….
A. 55$~~~~~~$ D. 64
B. 58$~~~~~~$ E. 67
C. 61
Penyelesaian:
Jawaban A.
Diketahui $U_1=a=5$. Karena $U_{10}=2.U_4$ maka: $$a+9b=2(a+3b)$$ $$5+9b=2(5+3b)$$ $$9b-6b=10-5$$ $$b=\frac{5}{3}$$ Dengan demikian, $$S_6=\frac{6}{2}\left[2(5)+5.\left(\frac{5}{3}\right)\right]$$ $$S_6=3.\left(10+\frac{25}{3}\right)$$ $$S_6=30+25=55$$

17. Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, sedangkan jumlah 12 suku pertamanya adalah 129. Jika suku ke-n adalah 193, maka nilai $~n=….$
A. 118$~~~~~~$ D. 128
B. 122$~~~~~~$ E. 130
C. 126
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$U_3+U_5=14$$ $$(a+2b)+(a+4b)=14$$ $$2a+6b=14$$ $$2a=14-6b…(i)$$ Kemudian, $$S_12=\frac{12}{2}(2a+11b)$$ $$129=6(14-6b+11b)$$ $$129=6(5b+14)$$ $$b=\frac{3}{2}$$ Substitusi $b$ ke $(i)$ diperoleh $$a=\frac{5}{2}$$ Jadi, $$U_n=a+(n-1)b$$ $$193=\frac{5}{2}+(n-1).\frac{3}{2}$$ $$n=\frac{381(2)}{2(3)}+1$$ $$n=128$$

18. Diketahui jumlah suku ke-4 sampai ke-6 deret geometri turun adalah 20. Diketahui pula jumlah tiga suku pertamanya adalah 160. Rasio deret itu adalah ….
A. 1/2$~~~~~~$ D. 1/8
B. 1/4$~~~~~~$ E. 1/16
C. 1/6
Penyelesaian:
Jawaban A.
ingat rumus deret geometri turun: $$S_n=\frac{a.(1-r^n)}{1-r}$$ Karena jumlah suku ke-4 sampai ke-6 adalah 20, maka: $$ar^3+ar^4+ar^5=20$$ $$ar^3(1+r+r^2)=20$$ $$r^3.\left(\frac{a.(1-r^3)}{1-r}\right)=20$$ $$r^3.S_3=20$$ $$r^3=\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$$ $$r=\frac{1}{2}$$

19. Diketahui jumlah suatu deret tak hingga adalah 320. Jumlah 5 suku pertama dari deret itu adalah 310, maka rasio deret itu adalah ….
A. 1/2$~~~~~~$ D. 1/8
B. 1/4$~~~~~~$ E. 1/16
C. 1/6
Penyelesaian:
Jawaban A.
$$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$$ $$320=\frac{a}{1-r}$$ kedua ruas kita kali $1-r^5$ maka diperoleh; $$320(1-r^5)=\frac{a(1-r^5)}{1-r}$$ $$320(1-r^5)=S_5$$ $$320(1-r^5)=310$$ $$1-r^5=\frac{31}{32}$$ $$r=\frac{1}{2}$$

20. Diberikan $$1+2+3+…+n=xxx$$ dengan $x$ adalah satu digit. Nilai $~n~$ adalah ….
A. 32 $~~~~~~$ D. 35
B. 33 $~~~~~~$ E. 36
C. 34
Penyelesaian:
Jawaban E.
$$\frac{n}{2}(1+n)=100x+10x+x$$ $$\frac{n}{2}(1+n)=111x$$ $$\frac{n}{2}(1+n)=(3x).(37)$$ Jadi: $~(1+n)=37$
$n=36$.