SOAL DAN PEMBAHASAN STATISTIKA

1. $x$ adalah rata-rata dari semua bilangan ganjil antara 37 dan 51. Jika $y$ adalah rata-rata dari semua bilangan genap antara 37 dan 51 maka …
A. $x~\text{<}~ y$ $\quad ~$D. $x-y=1$
B. $x>y \quad ~$ E. Semua salah
C. $x=y$
Penyelesaian:
Jawaban C.
$$x=\frac{37+51}{2}=44$$ $$y=\frac{38+50}{2}=44$$ Jadi $x=y$.

2. Seorang mahasiswa mendapat nilai 78, 86, 80, dan 91 untuk 4 mata kuliah. Berapa nilai yang harus diperoleh untuk mata kuliah yang ke lima agar diperoleh nilai rata-rata 85?
A. 90 $\quad ~~$D. 75
B. 85 $\quad ~~$E. 95
C. 80
Penyelesaian:
Jawaban A.
Kita pakai cara cepat:
Cari hasil pengurangan nilai rata-rata keinginan dengan semua nilai mata kuliah. Maka diperoleh: $7$, $-1$, $5$, dan $-6$, kemudian jumlahkan semua bilangan-bilangan ini, sehingga diperoleh: 5, terakhir jumlahkan dengan nilai rata-rata keinginan maka diperoleh: $85+5=90$.

3. Seorang siswa memperoleh nilai 82, 94, 86, dan 78 untuk 4 mata pelajaran. Berapa nilai yang harus diperoleh untuk mata pelajaran ke lima agar dia memperoleh nilai rata-rata 86?
A. 86 $\quad ~~$D. 88
B. 87 $\quad ~~$E. 89
C. 90
Penyelesaian:
Jawaban C.
Kita pakai cara cepat:
Cari hasil pengurangan nilai rata-rata keinginan dengan semua nilai mata pelajaran. Maka diperoleh: $4$, $-8$, $0$, dan $8$, kemudian kita jumlahkan nilai-nilai ini diperoleh: 4, terakhir jumlahkan dengan nilai rata-rata keinginan maka diperoleh: $86+4=90$.

4. Seorang siswa mendapat nilai 77, 87, 85, dan 94 untuk empat mata pelajaran. Berapa nilai yang harus diperoleh untuk mata pelajaran ke lima agar nilai rata-ratanya 85?
A. 86 $\quad ~~$D. 80
B. 85 $\quad ~~$E. 81
C. 82
Penyelesaian:
Jawaban C.
$8+(-2)+0+(-9)=-3$
Jadi $85+(-3)=82$.

5. Pak Hasan memiliki satu orang istri dan beberapa anak. Rata-rata umur keluarga tersebut adalah 24 tahun. Tanpa salah satu anak Pak Hasan yang berumur 8 tahun, rata-rata umur keluarga tersebut adalah 28 tahun. Banyak anak Pak Hasan adalah …. anak.
A. 6 $\quad ~~$D. 3
B. 5 $\quad ~~$E. 2
C. 4
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalnya umur Pak Hasan, istri, dan $x$ orang anaknya masing-masing adalah $h$, $i$, dan $a$ maka $$24=\frac{h+i+a}{x+2}$$ $$h+i+a=24x+48$$ dan karena tanpa salah satu anak Pak Hasan yang berumur 8 tahun menghasilkan rata-rata umur keluarga itu adalah 28 tahun, maka: $$28=\frac{h+i+a-8}{x+1}$$ $$h+i+a=28x+36$$ Jadi: $$24x+48=28x+36$$ $$-4x=-12$$ $$x=3$$

6. Pak Abi memiliki 4 orang anak. Masing-masing anak Pak Abi berusia $(x+2)$ tahun, $5x$ tahun, $(3x+4)$ tahun, dan $(2x+3)$ tahun. Jika rata-rata usia ke empat anak Pak Abi adalah 16 tahun, maka usia anak kedua Pak Abi adalah … tahun.
A. 13 $\quad ~~$D. 20
B. 16 $\quad ~~$E. 25
C. 19
Penyelesaian:
Jawaban C.
Jumlah total usia 4 orang anak $=11x+9$. Sehingga: $$\frac{11x+9}{4}=16$$ $$11x+9=16(4)=64$$ $$11x=64-9=55$$ $$x=5$$ kemudian kita urutkan usia 4 orang anak Pak Abi itu yakni: 7, 13, 19, dan 25. Jadi usia anak kedua Pak Abi adalah 19 tahun.

7. Jumlah 10 bilangan adalah 99 lebih besar dari rata-rata kesepuluh bilangan tersebut. Jumlah kesepuluh bilangan tersebut adalah …
A. 90 $\quad ~~$D. 110
B. 99 $\quad ~~$E. 115
C. 100
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan jumlah kesepuluh bilangan itu $k$ maka rata-ratanya adalah $k/10$. Sehingga: $$k=\frac{k}{10}+99$$ Kedua ruas kita kali 10 maka: $$10k=k+990$$ $$9k=990$$ $$k=110$$

8. Jika $x$ dan $y$ adalah dua bilangan positif, dan rata-rata dari 9, 27, dan $x$ adalah sama dengan rata-rata dari $y$ dan 24, maka ….
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. $x-y=1$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
$$\frac{9+27+x}{3}=\frac{y+24}{2}$$ $$\frac{36+x}{3}=\frac{y+24}{2}$$ Kita kali silang menjadi: $$72+2x=3y+72$$ $$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$$ karena $x$ dan $y$ bilangan positif, maka jelas bahwa $x>y$.

9. Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari 6 orang anak, dua anaknya berumur $x$ tahun dan 4 tahun. Jika rata-rata umur anak adalah 9 tahun dan umur empat anak lainnya adalah $(x+1)$, $~(\frac{1}{2}x+2)$, $~(2x-3)$, dan $(\frac{3}{2}x+2)$, maka berapa tahun umur anak tertua?
A. 16 $\quad ~~$D. 12
B. 14 $\quad ~~$E. 9
C. 13
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jumlah umur 6 orang anak adalah: $~6x+6$.
Sehingga diperoleh: $$9=\frac{6x+6}{6}$$ $$x+1=9$$ $$x=8$$ Jadi jelas bahwa umur anak tertua adalah: $$\frac{3}{2}x+2$$ $$=\frac{3}{2}(8)+2=14$$

10. Berapa nilai rata-rata barisan aritmatika kelipatan 5 mulai dari 15 sampai 50?
A. 15 $\quad ~~$D. 32,5
B. 27,5 $\quad ~~$E. 35
C. 30
Penyelesaian:
Jawaban D.
$$=\frac{15+50}{2}=32,5$$

11. Diketahui rata-rata tiga bilangan bulat positif adalah 13, dan jumlah dua bilangan terbesarnya adalah 35. Jika selisih dua bilangan terkecil adalah 9, maka hasil kali ketiga bilangan itu adalah ….
A. 88$\quad ~~$D. 1716
B. 1144$\quad ~~$E. 1056
C. 2197
Penyelesaian:
Jawaban B.
Misalkan tiga bilangan bulat positif dari terkecil sampai terbesar adalah $a$, $~b$, dan $c$, maka: $$\frac{a+b+c}{3}=13$$ $$a+b+c=39$$ dan $$b+c=35$$ maka kita peroleh: $~a=4$. Kemudian kita tahu $~b-a=9~$ sehingga diperoleh $~b=13~$ maka $~c=22$. Jadi, $~abc=4(13)(22)$$=1144$.

12. Jika rata-rata $2x$, $~y$, dan $3z$ adalah sama dengan rata-rata $x$ dan $2z$, maka perbandingan $x$ dan $2x+y$ adalah ….
A. $2:3 \quad ~~$D. $3:5$
B. $3:2 \quad ~~$E. $3:4$
C. $2:5$
Penyelesaian:
Jawaban A.
$$\frac{2x+y+3z}{3}=\frac{x+2z}{2}$$ Kita kali silang, diperoleh: $$4x+2y+6z=3x+6z$$ $$x=-2y$$ sehingga: $$\frac{x}{2x+y}=\frac{-2y}{-3y}$$ $$=2:3$$

13. Perbandingan jumlah siswa kelas A, B, dan C adalah $7:6:5$. Jika tinggi rata-rata siswa kelas A, B, dan C adalah 165 cm, 168 cm, dan 166 cm. Berapa tinggi rata-rata gabungan dari seluruh siswa di ketiga kelas tersebut?
A. 165,72 $\quad ~~$D. 166,83
B. 166,28 $\quad ~~$E. 167,50
C. 166,74
Penyelesaian:
Jawaban B.
Rata-rata gabungan = $$\frac{7(165)+6(168)+5(166)}{7+6+5}$$ $$=\frac{2993}{18}=166,28$$

14. Seorang anak bernama Intan memiliki ladang yang ditanami pohon sengon dan pohon jati dengan rata-rata tinggi pohon adalah 530 cm. Diketahui bahwa rata-rata tinggi pohon sengon adalah 420 cm dan rata-rata tinggi pohon jati adalah 560 cm. Jika $m$ adalah jumlah pohon sengon dan $n$ adalah jumlah pohon jati, maka ….
A. $m < n$
B. $m=n$
C Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $m=n^2$
E. $m>n$
Penyelesaian:
Jawaban
Kita pasti tahu rumus rata-rata gabungan yakni: $$\bar{x_g}=\frac{n_1.\bar{x_1}+n_2.\bar{x_2}+…}{n_1+n_2+…}$$ Sehingga: $$530=\frac{m(420)+n(560)}{m+n}$$ $$530m+530n=420m+560n$$ $$110m=30n$$ $$\frac{m}{n}=\frac{3}{11}$$ Jadi jelas bahwa $m < n$.

15. Rata-rata nilai dari siswa putri dan siswa putra di kelas M berturut-turut adalah 85 dan 78. Jika rata-rata nilai kelas tersebut adalah 83, persentase jumlah siswa putra terhadap jumlah siswa putri di kelas M adalah …. %
A. 60 $\quad ~~$D. 40
B. 50 $\quad ~~$E. 30
C. 45
Penyelesaian:
Jawaban D.
Kita gunakan rumus rata-rata gabungan, sehingga diperoleh: $$83=\frac{85Pi+78Pa}{Pi+Pa}$$ $$83Pi+83Pa=85Pi+78Pa$$ $$5Pa=2Pi$$ $$\frac{Pa}{Pi}=\frac{2}{5}$$ Jadi persentasenya adalah $~\frac{2}{5}$.100% = 40%

16. Sebuah kelas mempunyai nilai rata-rata 5,2 dan median 6. Karena data yang diperoleh tidak memuaskan, seluruh data diubah dengan cara setiap data dikali 5 dan hasilnya dibagi 5. Nilai rata-rata dan median berturut-turut adalah ….
A. $6;~5,2 \quad ~~$D. $30;~26$
B. $5,2;~6 \quad ~~$E. $10;~20$
C. $26;~30$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Karena seluruh data yang diubah, maka jelas bahwa hasilnya tetap, karena kali 5 dan dibagi 5 menjadi kali 1.

17. Nilai rata-rata dari 23 siswa adalah 7,6. Dari pemeriksaan ulang terdapat dua data yang salah seharusnya tertulis 8,5 dan 8,7. Jika rata-rata nilai data yang salah adalah 6,7 maka nilai rata-rata siswa setelah perbaikan adalah ….
A. 7,6 $\quad ~~$D. 8,7
B. 7,76 $\quad ~~$E. 8,76
C. 8,6
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jika jumlah dua data nilai yang salah itu adalah $t$, maka: $$\frac{t}{2}=6,7~\to t=13,4$$ Kemudian kita cari jumlah nilai yg tidak salah yakni ada 21 nilai, misalnya jumlah 21 nilai ini adalah $k$ maka: $$\frac{k+t}{23}=7,6$$ $$k+13,4=174,8$$ $$k=161,4$$ Jadi nilai rata-rata setelah perbaikan adalah: $$\frac{161,4+8,5+8,7}{23}=7,76$$

18. Bari membeli 5 buah majalah dengan harga rata-rata Rp4.000,- per buah dan membeli lagi majalah serupa dengan harga rata-rata Rp6.000,-. Bila diketahui harga rata-rata untuk keseluruhan buku adalah Rp5.000,- maka berapakah tambahan majalah yang dibeli lagi oleh Bari?
A. 3 $\quad ~~$D. 6
B. 4 $\quad ~~$E. 7
C. 5
Penyelesaian:
Jawaban C.
Kita gunakan rumus rata-rata gabungan. Misalkan $x$ adalah tambahan majalah, maka: $$5000=\frac{5(4000)+6000x}{5+x}$$ Kedua ruas kita bagi dengan 1000 maka menjadi: $$5=\frac{5(4)+6x}{5+x}$$ $$25+5x=20+6x$$ $$x=5$$

19. Rata-rata sembilan bilangan adalah 8. Jika salah satu diantara kesembilan bilangan tersebut dibuang, maka rata-rata 8 bilangan yang tinggal adalah 7. Jika $x$ adalah bilangan yang dibuang, dan $y=16$ maka ….
A. $~x < y$
B. $~x > y$
C. $~x=y$
D. $~y=2x$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Jawaban C.
misalkan $m$ adalah jumlah 8 bilangan yang tinggal, maka: $$\frac{m+x}{9}=8$$ $$m+x=72$$ dan $$\frac{m}{8}=7$$ $$m=56$$ Sehingga $~x=72-56=16$. Jadi $x=y$.

20. Kopi kualitas I dan kualitas II dicampurkan dengan perbandingan $a:b$. Harga kopi kualitas I dan kualitas II tiap kg masing-masing adalah Rp16.000,- dan Rp18.000,-. Jika harga kopi kualitas I naik 15% sedangkan kopi kualitas II turun 10% tetapi harga kopi campuran setiap kg tidak berubah, maka nilai $a:b$ adalah ….
A. $3:4 \quad ~~$D. $9:8$
B. $4:3 \quad ~~$E. $9:10$
C. $8:9$
Penyelesaian:
Jawaban A.
Gunakan rumus rata-rata gabungan, sehingga diperoleh: $$\frac{16000a+18000b}{a+b}$$ $$=\frac{16000a.(1,15)+18000b.(0,9)}{a+b}$$ $$16a+18b=18,4a+16,2b$$ $$1,8b=2,4a$$ $$\frac{a}{b}=\frac{1,8}{2,4}=\frac{18}{24}$$ $$a:b=3:4$$

21. Mita adalah karyawan pada perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data kenaikan produksi selama 5 priode. Setelah dicari, Mita menemukan empat data kenaikan yaitu 4%, 9%, 7% dan 5%. Satu data lagi, yaitu data ke-5, bila Mita hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data tersebut adalah sama, maka kenaikan produksi yang mungkin pada priode ke-5 adalah berkisar antara ….
A. 0% sampai 10%
B. 5% sampai 15%
C. 10% sampai 15%
D. 10% sampai 20%
E. Tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Jawaban A.
Misalkan data ke-5 itu $x$ maka:
Kemungkinan pertama $x$ terbesar: $$\frac{4+5+7+9+x}{5}=7$$ $$25+x=35$$ $$x=10$$ Kemungkinan kedua $x$ terkecil: $$\frac{x+4+5+7+9}{5}=5$$ $$x+25=25$$ $$x=0$$ Jadi kenaikan produksi yang mungkin pada priode ke-5 adalah berkisar antara 0% sampai 10%.

22. Di dalam suatu ujian, masing-masing siswa diberikan skor 5, 10, atau 15. Banyak siswa untuk masing-masing skor ditunjukkan pada tabel berikut:

Skor	5	10	15
Banyak Siswa	8	12	$x$

Jika median skornya adalah 10, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $x$ adalah ….
A. 8 $\quad ~~$D. 20
B. 9 $\quad ~~$E. 21
C. 19
Penyelesaian:
Jawaban C.
Mudah bahwa dengan melihat posisi akhir skor 10 adalah $8+12=20$, maka tidak mungkin banyaknya skor 15 melebihi 19, karena kalau melebihi 19 maka median tidak lagi 10.

Diagram berikut untuk nomor 23$-$25.
Berikut adalah data jumlah alat transportasi umum di Kota Bunga Seroja pada tahun 2004: