Loading...
Soal Olimpiade Mtk yang tampak rumit 1. Nilai dari $\displaystyle \sqrt{5050^2-4950^2}=$ …
Solusi:
Perhatikan bahwa $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ maka hasil di atas adalah: $$=\sqrt{(5050+4950)(5050-4950)}$$ $$=\sqrt{(10000)(100)}$$ $$=\sqrt{10^6}$$ $$=10^3=1000$$
2. Salah satu faktor dari $17^3-5^3$ adalah …
A. 5 $\quad ~~$ D. 273
B. 17 $\quad~$ E. 399
C. 13
Solusi:
Perhatikan bahwa $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ Sehingga: $$=(17-5)(17^2+17.(5)+5^2)$$ $$=12.(399)$$ jawaban E.

3. Hitunglah $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}$
Solusi:
Misalkan $x$ = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}$
maka $\displaystyle x^2=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$ $-2\sqrt{2^2-3}$
$x^2=4-2=2$
$x=\sqrt{2}$

4. Nilai dari $\sqrt{1+28(29)(30)(31)}$ adalah …
Solusi:
Mengingat bahwa: 1 + (n$-$1)(n)(n+1)(n+2)=(n(n+1)$-$1)$^2$ maka hasil sama saja dengan: $=29.(30)-1$ jadi: $$\sqrt{1+28(29)(30)(31)}=869$$
5. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan: $\displaystyle \sqrt{2x+3}-\sqrt{7-x}=1$.
Solusi:
Karena bilangan dalam akar harus tak negatif maka penyelesaian persamaan tersebut harus berada dalam interval $\displaystyle -\frac{3}{2} \le x \le 7$. Perhatikan bahwa: $$\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{7-x}$$ kuadratkan kedua ruas, diperoleh: $$2x+3=1+7-x+2\sqrt{7-x}$$ $$3x-5=2\sqrt{7-x}$$ kuadratkan kedua ruas dengan syarat: $3x-5 \ge 0$ sebab $\sqrt{7-x} \ge 0$. Maka: $$9x^2-30x+25=4(7-x)$$ $$9x^2-26x-3=0$$ $$x=3 \text{ atau }x=-\frac{1}{9}$$ Kita uji yang memenuhi syarat adalah $x=3$.

6. Jika $a^2=7b+1945$ dan $b^2=7a+1945$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari $ab$ adalah …
Solusi:
Jelas bahwa $a^2-b^2=7(b-a)$. Karena $a \ne b$ maka $a+b=-7$.
Dari soal diperoleh $$a^2+b^2=7(a+b)+3890$$ $$(a+b)^2-2ab=7(-7)+3890$$ $$49-2ab=-49+3890$$ $$ab=-1896$$
7. Jika $x-\sqrt{yz}=42$, $~y-\sqrt{xz}=6$ dan $z-\sqrt{xy}=-30$ maka nilai $x+y+z=$ …
Solusi:
Misalkan $x=a^2$, $~y=b^2$, $~z=c^2$. Lalu substitusikan ke soal semula sehingga diperoleh:
$a^2-bc=42$ … (1)
$b^2-ac=6$ … (2)
$c^2-ab=-30$ … (3)
Kita cari (1)$-$(2) akan menghasilkan:
$\displaystyle (a+b+c)=\frac{36}{(a-b)}$ … (4)
Lalu kita cari (1)$-$(3) akan menghasilkan:
$\displaystyle (a+b+c)=\frac{72}{(a-c)}$ … (5)
Substitusikan (4) dengan (5) diperoleh:
$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$ … (6)
Lalu substitusikan (6) ke (2) diperoleh:
$(a-c)=\sqrt{24}$ … (7)
Substitusi (6) ke (1) diperoleh:
$(2a+c)=7\sqrt{6}$ … (8)
Setelah itu kita cari (7) + (8) diperoleh:
$a=3\sqrt{6}$
untuk mencari nilai $b$ dan $c$ maka nilai $a$ harus kita substitusikan ke persamaan yang telah kita cari. Sehingga jelas bahwa nilai $b=2\sqrt{6}$ dan $c=\sqrt{6}$. Jadi, $x=54$, $~y=24$, dan $z=6$, maka $x+y+z=84$.

Demikianlah postingan singkat ini, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat.